Matematyka.pl

Swistak pisze:Takie zadania na sumę cyfr mnie nie wystraszą

\(\displaystyle{ s(n)}\) oznacza sumę cyfr liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) w zapisie dziesiętnym.

1) Rozstrzygnij czy istnieje skończenie, czy też nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) t. że \(\displaystyle{ s(2^n)<s(n^2)}\)
2) Znajdź najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) podzielną przez 2012, dla której \(\displaystyle{ s(n)=2012}\)
3) Udowodnij, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ k}\) istnieje \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ s(n) > k\cdot s(n^{2012})}\)
4) Rozstrzygnij czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ s(2012^n)>s(2012^{n+1})}\)
5) Udowodnij, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p>11}\) i dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ k}\) istnieje taka \(\displaystyle{ m}\) będąca wielokrotnością \(\displaystyle{ p^k}\), że \(\displaystyle{ s(m)=p}\)

2) Czy ta liczba jest postaci \(\displaystyle{ 99998\underbrace{\ldots}_{9}99996}\)?