Matematyka.pl

Oblicz dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) funkcja określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= (m-4)x^{2} -4x + m - 3}\) ma dwa miejsca zerowe, z których jedno jest mniejsze od 1, a drugie większe od 1.

Moje warunki to:
1) \(\displaystyle{ a \neq 0}\)
2) \(\displaystyle{ delta>0}\)
3) \(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2}}\) (w sumie nie potrzebny)

A odpowiednie warunki to delta oraz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m-4>0 \\ f(1)<0 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} m-4<0 \\ f(1)>0 \end{cases}}\)

Skąd wzięły się te dobre warunki? Prosiłbym o wytłuamczenie

Zrób sobie rysunek poglądowy to zobaczysz Warunki są po to aby tak ukierunkować parabole aby spełniała warunki zadania

Przecież z tego wynika, tak samo jak u mnie, że \(\displaystyle{ a \neq 0}\). Dlaczego wg tego moja funkcja ma rosnąć albo maleć? No wiadomo, że \(\displaystyle{ a>0}\) to funkcja rośnie i na odwrót. Gdybym zapisał (logicznie myśląc), że \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\) to i tak źle mi wyjdzie

To nie jest to samo co u Ciebie.

U Ciebie warunek \(\displaystyle{ a \neq 0}\) oznacza tylko tyle, że \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie funkcją kwadratową ale to jest za mało, żeby jeden pierwiastek był większy od 1 a drugi mniejszy od 1.

Żeby to uwzględnić musisz rozpatrzyć dwa przypadki:

1) \(\displaystyle{ a=m-4>0}\) czyli ramiona paraboli skierowane są do góry. Wówczas jeżeli \(\displaystyle{ f(1)<0}\) to jeden pierwiastek musi być na osi na prawo od jedynki a drugi na lewo od jedynki.

Jak masz wątpliwości, że tak jest to spróbuj narysować taką parabole której wartość dla \(\displaystyle{ x=1}\) będzie ujemna, ramiona będą skierowane do góry a pierwiastki nie będą leżały po obydwu stronach \(\displaystyle{ x=1}\).

2) \(\displaystyle{ a=m-4<0}\) czyli ramiona paraboli skierowane są do dołu. Wówczas jeżeli \(\displaystyle{ f(1)>0}\) to jeden pierwiastek musi być na osi na prawo od jedynki a drugi na lewo od jedynki.