Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli w czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) dwusieczne katów przy wierzchołkach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) w czterech rożnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.

Niech \(\displaystyle{ 2 \alpha ,\,2 \beta ,\,2 \gamma,\,2\delta}\) będą miarami kątów czworokąta przy wierzchołkach A, B, C, D.

K, L, M, N to punkty przecięca dwusiecznych kątów poprowadzonych z wierzchołków:

A i D, A i B, B i C, C i D.

Kąty czworokąta KLMN przy przeciwległych wierzchołkach K oraz M mają miary:

\(\displaystyle{ 180^0-(\alpha +\delta)}\) oraz \(\displaystyle{ 180^0-( \beta +\gamma)}\).

Suma ich jest równa \(\displaystyle{ 360^0-( \alpha + \beta +\gamma+\delta)=180^0}\).

To dowodzi, że na czworokącie KLMN można opisać okrąg.


USUNIĘTO LINK