Matematyka.pl

W półkole o promieniu \(\displaystyle{ r}\) wpisano trapez równoramienny o krótszej podstawie długości \(\displaystyle{ a}\). Oblicz długość przekątnej trapezu.

Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny

to zauważyłem, ale nie wiem jak to powiązać z długością ramienia.

Dorysuj wysokość z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) i szukaj trójkątów podobnych.

trójkąt \(\displaystyle{ ACB}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ ACE}\) gdzie \(\displaystyle{ CE}\) to wysokość trapezu?

Zgadza się.

wyszło mi, że długość przekątnej trapezu \(\displaystyle{ x= \sqrt{r(2r+a)}}\), dobrze?

Dobrze.

Według mnie ten trapez składa się z trzech przystających trójkątów równobocznych o boku r. Można to wykazać łącząc środek półkola z wierzchołkami C i D. Czy mam rację?
Wtedy wynik wychodzi
\(\displaystyle{ d=r \sqrt{3}}\)

Niestety nie. Na rysunku to wygląda na przystające, ale patrząc na treść zadania równie dobrze moglibyśmy sobie narysować tak:

A skąd wiadomo że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny?

Podstawą trójkąta ABC jest średnica okręgu czyli AB -- 24 kwi 2012, o 13:42 --Oczywiście kąt prosty jest przy wierzchołku C.