Matematyka.pl

1. stożek o wysokości 4 i promieniu 3 przecięto przekrojem/płaszczyzną(właściwie to nie wiem) która zawierała wysokość i cięciwę podstawy stożka. Płaszczyzna ta była nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni.Oblicz pole przekroju. (uprzedzam że zadanie piszę z pamięci, mam nadzieję że wszystko poprawnie zapamiętałem)
Mój rysunek oraz obliczenia:

(nie zwracajcie uwagi na obliczenia na obrazku, gdyż nie chcę by topic wylądował w koszu ponownie. zaraz wszystko ładnie przepiszę w latex'ie.)
Tak więc:
Dane: \(\displaystyle{ \alpha =60^\circ , r=3, h=4}\).
Z trójkąta \(\displaystyle{ SFC}\): \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{4}{h _{1} } \Rightarrow h _{1} = \frac{8 \sqrt{3}}{3}}\)
Z Pitagorasa w tym samym trójkącie:
\(\displaystyle{ |SF| ^{2} = {\frac{8 \sqrt{3}}{3}} ^{2} - 16 \Rightarrow |SF| = \frac{4 \sqrt{3} }{3}}\)
Oznaczam za \(\displaystyle{ |SF|=x}\)
Z trójkata \(\displaystyle{ DES}\) (w którym wysokością jest \(\displaystyle{ SF}\)) liczę z tw.Pitagorasa:
\(\displaystyle{ x^{2} + {\frac{a}{2} } ^{2} = 3 ^{2}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest wyliczone, po wstawieniu wychodzi że \(\displaystyle{ a= \frac{2 \sqrt{33} }{3}}\)
Pole trójkata \(\displaystyle{ DEC}\): \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{33} }{3} \cdot \frac{8 \sqrt{3}}{3}= \frac{8 \sqrt{11} }{3}}\)
Czy to zadanie jest poprawnie wykonane?

A co do drugiego zadania:
Udowodnij że jeżeli przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny to pobocznica jest półkolem.

Oto rysunek, zaraz napiszę w latex'ie mój tok rozumowania.
EDIT: Tak jak obiecałem, oto i moje zapiski:
\(\displaystyle{ P_{b} - \beta}\)

\(\displaystyle{ \pi \cdot a ^{2} - 2 \pi \\
P_{b} = \frac{ a^{2} \cdot \beta }{2}}\)
Oraz znam wzór na \(\displaystyle{ P_{b}= \pi \cdot r \cdot l= \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \pi}\)
Przyrównuje to i wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a ^{2}= \frac{a ^{2} \cdot \beta }{2}}\)
\(\displaystyle{ \pi = \beta}\) CND
Dobrze?
Pozdrawiam.( w szczególności moderatorów)

1. OK z poniższymi uwagami
a)

matolek1993 pisze:przecięto przekrojem/płaszczyzną(właściwie to nie wiem) która zawierała wysokość i cięciwę podstawy stożka

wg tego co liczyłeś to treść chyba brzmiała:
przecięto płaszczyzną która zawierała wierzchołek stożka i cięciwę podstawy stożka
b)

matolek1993 pisze:\(\displaystyle{ x^{2} + {\frac{a}{2} } ^{2} = 3 ^{2}}\)

winno być tak jak masz w zeszycie czyli \(\displaystyle{ x^{2} + { \left( \frac{a}{2} \right) } ^{2} = 3 ^{2}}\)
2. OK. Warto opisać w poście proporcję bo początkowo ma się wrażenie, że coś tam odejmujemy

Ad. 1
No tak, naturalnie że chodziło mi o wierzchołek!:)
Strasznie się cieszę że jest ok!
Ad.2
No tak, jeszcze nie jestem przyzwyczajony do Latexa, ale...już coraz szybciej mi to idzie
Co do proporcji to wygląda to bardziej przejrzyście w zeszycie, no ale...
Dziękuję bardzo za sprawdzenie i za zwrócenie uwagi na szczególiki!
Pozdrawiam

Co do drugiego zadania i proporcji, zastanawia mnie to "wtłaczanie" miary kąta do obliczeń... Korzystamy z miary wyrażonej w radianach więc raczej będzie OK
Zadanie można rozwiązać bez powyższych dylematów np. tak:
Przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny więc średnica podstawy stożka ma długość \(\displaystyle{ a}\). Skoro tak, to obwód podstawy mam długość \(\displaystyle{ Obw=2\pi \cdot \frac{a}{2}=\pi a}\)
Tworząca stożka jest promieniem wycinka koła, który powstanie po rozłożeniu pobocznicy. Promień ten wynosi \(\displaystyle{ a}\) więc całe koło miałoby obwód \(\displaystyle{ 2\pi a}\). My zaś mamy wycinek koła o długości łuku \(\displaystyle{ \pi a}\) czyli półkole

Powiem szczerze, że wracając do domu myślałem o takim rozwiązaniu, ale niestety to już było po sprawdzianie, więc już i tak nie mam wpływu na to.
Liczę że dostanę za to jakieś punkty, bo... na najprostszym zadaniu poległem (bodajże: kwadrat o boku 4 obracamy wokół osi obrotu prostopadłej do przekątnej I PRZECHODZĄCEJ PRZEZ JEDEN WIERCHOŁEK.
Ostatnie zdanie mnie zgubiło, nie wiem jak to się stało, no ale trudno. Ja niestety liczyłem tak jakby oś obrotu była przez drugą przekątną :/ )
Pozdrawiam.

matolek1993 pisze:kwadrat o boku 4 obracamy wokół osi obrotu prostopadłej do przekątnej I PRZECHODZĄCEJ PRZEZ JEDEN WIERCHOŁEK

czyli coś takiego:

Świetnie mi to zobrazowałeś, ale niestety na sprawdzianie miałem zupełne zaćmienie umysłu i zrobiłem oś jako... przekątną prostopadłą do drugiej przekątnej. Wiem, głupek ze mnie.

matolek1993 pisze:Wiem, głupek ze mnie.

tylko bez takich po prostu rozwiązałeś na sprawdzianie inne zadanie, niestety niepunktowane