EGMO 2012 - Polki wygrały!

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
Awatar użytkownika
adamm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 253
Rejestracja: 1 paź 2009, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot/Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 15 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: adamm » 13 kwie 2012, o 11:26

Dzień 1.

1. Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ D, E, F}\) leżą odpowiednio we wnętrzach boków \(\displaystyle{ BC, CA}\) oraz \(\displaystyle{ AB}\), przy czym prosta \(\displaystyle{ DE}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ CO}\) oraz prosta \(\displaystyle{ DF}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ BO}\). Punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkacie \(\displaystyle{ AFE}\). Wykazać, że proste \(\displaystyle{ DK}\) oraz \(\displaystyle{ BC}\) są prostopadłe.
(Uwaga: Punkt \(\displaystyle{ Z}\) lezy we wnętrzu odcinka \(\displaystyle{ XY}\) , jeśli leży on na prostej \(\displaystyle{ XY}\) pomiędzy punktami \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) .)

2. Dana jest liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\). Wyznaczyć, w zależności od \(\displaystyle{ n}\), największą możliwą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ m}\) o następującej własności: tabelę posiadającą \(\displaystyle{ m}\) wierszy i \(\displaystyle{ n}\) kolumn można wypełnic liczbami rzeczywistymi w taki sposób, by dla każdych dwóch róznych wierszy \(\displaystyle{ [a_1, a_2,\ldots, a_n]}\) oraz \(\displaystyle{ [b_1, b_2,\ldots, b_n]}\) spełnione
było:
\(\displaystyle{ \max(|a_1-b_1|, |a_2-b_2|,\ldots, |a_n-b_n|) = 1.}\)
3. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}\) spełniające równanie
\(\displaystyle{ f\left(yf(x+y)+f(x)\right)=4x+2yf(x+y)}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}.}\)

4. Zbiór liczb całkowitych \(\displaystyle{ A}\) nazywamy pełnym ze względu na sumy jesli \(\displaystyle{ A \subseteq A+A}\), to znaczy każdy element \(\displaystyle{ a\in A}\) jest sumą pewnej pary (niekoniecznie różnych) elementów \(\displaystyle{ b, c\in A}\). Zbiór liczb całkowitych \(\displaystyle{ A}\) nazywamy zero-wolnym ze względu na sumy jeśli \(\displaystyle{ 0}\) jest jedyną liczbą całkowitą, której nie da się przedstawić jako sumy elementów niepustego, skończonego podzbioru zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Czy istnieje zbiór liczb całkowitych, który jest zarówno pełny za względu na sumy, jak i zero-wolny ze względu na sumy?

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2953
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 280 razy
Pomógł: 495 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: tometomek91 » 13 kwie 2012, o 12:13

1.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
adamm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 253
Rejestracja: 1 paź 2009, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot/Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 15 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: adamm » 13 kwie 2012, o 12:47

1. inaczej:    

MadJack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 270
Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 35 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: MadJack » 13 kwie 2012, o 18:37

3.:    
Mam nadzieję, że nie pomyliłem się nigdzie

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 407 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: timon92 » 13 kwie 2012, o 18:44

MadJack, ostatni wniosek jest błędny,
Ukryta treść:    
trzeba to jeszcze chwilę pomęczyć żeby wyszło to co trzeba

Leszczu21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 18 gru 2009, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rz
Pomógł: 1 raz

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: Leszczu21 » 13 kwie 2012, o 18:58

(Uwaga: Punkt \(\displaystyle{ Z}\) lezy we wnętrzu odcinka \(\displaystyle{ XY}\) , jeśli leży on na prostej \(\displaystyle{ XY}\) pomiędzy punktami \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) .)
Świetne

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: Swistak » 13 kwie 2012, o 20:05

4:    

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: marcin_smu » 14 kwie 2012, o 19:17

3:    

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2705
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 644 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: Sylwek » 14 kwie 2012, o 20:58

1:    
2:    
Swistak pisze:
4:    
Nie działa to ("-3" nie otrzymasz).

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 407 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: timon92 » 14 kwie 2012, o 23:07

Sylwek, -3 = 1 + 3 - 2 - 5

jeśli ktoś nie śledził konkursu, to był jeszcze drugi dzień zawodów (zadania są tu http://www.egmo2012.org.uk/competition/)

nasze reprezentantki zdobyły złoty medal oraz trzy srebrne, natomiast w klasyfikacji drużynowej (polegającej na zsumowaniu wyników indywidualnych) nasze dziewczęta wywalczyły pierwsze miejsce

gratulujemy!

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2705
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 644 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: Sylwek » 14 kwie 2012, o 23:42

timon92 pisze:Sylwek, -3 = 1 + 3 - 2 - 5
Dzięki. Działa to jednak

A tu klasyfikacja:
https://registration.egmo2012.org.uk/person?@template=scoreboard

Przyłączam się do gratulacji!

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: Swistak » 15 kwie 2012, o 22:13

Plis, co to za staty za 8:    

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: kaszubki » 15 kwie 2012, o 23:57

Co do zadania 8.:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2705
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 644 razy

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: Sylwek » 16 kwie 2012, o 22:04

O sukcesie Polek napisała Gazeta Wyborcza:

http://wyborcza.pl/1,75476,11544685,Polki_gora_w_matematyce_.html

Awatar użytkownika
humanistyczna dusza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 25 mar 2012, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Legnica
Pomógł: 1 raz

EGMO 2012 - Polki wygrały!

Post autor: humanistyczna dusza » 16 kwie 2012, o 22:29

Nie dość, że mamy w Polsce najpiękniejsze kobiety, to jeszcze mamy najlepsze matematyczki .

ODPOWIEDZ