Matematyka.pl

inwersja względem okręgu

jeszcze musisz sobie poradzic jakos z faktem, ze inwersja nie zachowuje odleglosci....

owszem nie zachowuje, lecz istnieje związek \(\displaystyle{ P'Q' = \frac{PQ \cdot R^2}{OP \cdot OQ}}\), gdzie O,P,Q,P',Q',R to odpowiednio środek okręgu inwersyjnego, P,Q to jakieś punkty, P',Q' to ich obrazy inwersyjne, R promień okręgu

można wybrać na jakiejś prostej k nieprzechodzącej przez O mnóstwo punktów tak, by wszystkie odcinki występujące w powyższym wzorze były wymierne i rozważyć obrazy wybranych punktów w inwersji względem okręgu o środku O i promieniu 1

dostanie się jakiś podzbiór pewnego okręgu, w którym odległości między dowolnymi dwoma punktami są wymierne

rozważając odpowiednią jednokładność dostaniemy szukany zbiór punktów

żeby zaś wszystkie odległości były różne, to trzeba wybrać jakieś szczególne punkty na prostej k - już mi się nie chce pisać jak to zrealizować

ok, ale jeszcze musisz byc w stanie wybrac srodek okregu tak, aby wszystkie odleglosci od niego do punktow na prostej byly wymierne ( albo co najmniej wszystkie iloczyny OP*OQ)

no to żaden problem, można wziąć O w odległości wymiernej od prostej k, O' to rzut prostokątny O na k i potem brać trójkąty pitagorejskie OO'X

Jestes juz blisko, ale znowu zalozyles rzecz nietrywialna, a mianowicie fakt, ze istnieje liczba rzeczywista m ( = |OO'| ) taka, ze istnieje co najmniej 2012 liczb x takich ze \(\displaystyle{ m^{2} + x^{2}}\) jest kwadratem liczby wymiernej.