Matematyka.pl

Też sobie pozwoliłem

1. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) \(\displaystyle{ \angle ABC = 2 \cdot \angle ACB}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) to środek boku \(\displaystyle{ BC}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACB}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ AM}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \angle MDC \le 45^{\circ}}\).

2. Wyznacz wszystkie liczby \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_{+}}\) takie, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}_{+}}\) spełniających \(\displaystyle{ x^3 + y^3 \le 2xy}\), zachodzi \(\displaystyle{ x^n + y^n \le 2}\).

3. Liczby \(\displaystyle{ p, q}\) są całkowite dodatnie i względnie pierwsze. Podzbiór \(\displaystyle{ S}\) zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{+} \cup {0}}\) nazwiemy "dzikim", jeżeli \(\displaystyle{ 0 \in S}\) oraz \(\displaystyle{ \forall n \in S \ n + p \in S \ \wedge \ n + q \in S}\). Znajdź liczbę "dzikich" podzbiorów.

Mam nadzieję, że nie bardzo suche ;P

odświeżam temat

Nie widzę przycisku "w górę", więc podnoszę standardowo.

To są fajne zadanka - co z Wami?
Róbcie, bo jak wrócę do domu za jakiś miesiąc, to zerknę do notatek i rzucę hintami, które popsują zabawę (tak, przyznaję, że nie pamiętam dokładnie jak się je robiło, ale pamiętam, że triki były zacne).

ad.2

arek1357 pisze:ad.2

Ukryta treść:    

Według mnie n jest dowolne większe od jeden

Bo pierwszy wykres zawiera się w kwadracie:

jednostkowym w I ćwiartce czyli:

\(\displaystyle{ (0,0)(1,0)(0,1)(1,1)}\)

a wykresy:

\(\displaystyle{ x^n+y^n \le 2}\)
zawierają ten kwadrat

NNo dokładnie jednak intuicja bywa zawodna


Ciekawe do jakiej granicy zmierza :

\(\displaystyle{ x^n+y^n=2}\)

Bo w takim układzie chyba nie do kwadratu jednostkowego.

Ciekawe wydają się te owale(ćwiartki pseudookręgów w pierwszej ćwiartce) i badanie ich własności dla różnych \(\displaystyle{ n}\)