Matematyka.pl

mam nadzieję, że żadne z tych zadań nie jest choćby w połowie tak suche, jak zadania z gorszego próbnego finału

1) Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), że liczba \(\displaystyle{ n^2+1}\) ma dwa dodatnie dzielniki, których różnica wynosi \(\displaystyle{ n}\).

2) Niech \(\displaystyle{ D,E,F}\) będą punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) z bokami \(\displaystyle{ BC,CA,AB}\). Prosta równoległa do \(\displaystyle{ AB}\) przechodząca przez \(\displaystyle{ E}\) przecina \(\displaystyle{ DF}\) w punkcie \(\displaystyle{ Q}\), a równoległa do \(\displaystyle{ AB}\) przez \(\displaystyle{ D}\) przecina \(\displaystyle{ EF}\) w \(\displaystyle{ T}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ CF,DE,QT}\) przecinają się w jednym punkcie.

3) Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ a,b}\). Niech \(\displaystyle{ s_n}\) oznacza sumę cyfr w zapisie dziesiętnym liczby \(\displaystyle{ an+b}\). Udowodnij, że ciąg \(\displaystyle{ (s_i)_{i \geq 1}}\) zawiera nieskończony stały podciąg.

Zero polotu.

KPR -

Wykonujemy rzutowanie płaszczyzny rzutowej tak, aby obrazem tamtej prostej była prosta w nieskończoności i obrazem okręgu był okrąg.

obaj przekombinowaliścieps. punkty D,E,F nie muszą być punktami styczności okręgu wpisanego z bokami - wystarcza, by AD, BE, CF były współpękowe

Ej, tak się spytam - co dokładnie zachowują przekształcenia rzutowe?

W tym rozwiązaniu wystarcza, że współliniowość i przekształca stożkowe na stożkowe.

Czy udało się komuś wymyślić inną konstrukcję enów w zad. 1. niż KPR? Nie żebym miał coś przeciwko jego rozwiązaniu, ale coś mi podpowiada, że można inne powymyślać, jednak moje próby spełzły na niczym.

[edit]
@Sylwek - bardzo spoko uwaga! Dzięki.

odnośnie sposobu Sylwka