Matematyka.pl

Na powierzchni walca \(\displaystyle{ \{(x,y,z): x^{2}+y^{2}=1, 0<z<1\}}\) leży zbiór \(\displaystyle{ A}\), mierzalny względem miary \(\displaystyle{ \sigma_{2}}\). Dla każdej liczby \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\) określamy: \(\displaystyle{ A_{t}=\{(x,y,z) \in A: z<t \}}\), \(\displaystyle{ f(t)=\sigma_{2}(A_{t})}\).
Dowieść, że:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(t)dt=\iint_{A}(1-z)d\sigma_{2}}\).
uwaga: \(\displaystyle{ d\sigma_{2}}\) oznacza to samo co \(\displaystyle{ dS}\).

Z góry dziękuję za pomoc.

Moja idea jest mniej więcej taka:

Całkę: można zapisać jako:
inaczej mówiąc zamiast całkować po malutkich "kawałeczkach" o polu \(\displaystyle{ \mbox d S}\) całkujemy po "paseczkach" o polu \(\displaystyle{ f'(t) \; \mbox dt}\). Całkując przez części mamy: