Matematyka.pl

Witam
mam problem z takim oto równaniem, będę wdzięczny jeżeli ktoś naprowadzi mnie na rozwiązanie.
\(\displaystyle{ \sin2x\cdot\sin4x\cdot\sin6x=1}\)

To równanie jest sprzeczne.

Tylko jeszcze trzeba to dobrze udowodnić
i z tym mam niejako problem.
Rozwiązując to skorzystałem z tego że \(\displaystyle{ \sin x \in\left\langle-1;1\right\rangle}\)
i \(\displaystyle{ a\cdot\frac{1}{a}=1}\) czyli wyszły mi cztery równania:
1. \(\displaystyle{ \sin 2x=1}\) i \(\displaystyle{ \sin 4x=1}\) i \(\displaystyle{ \sin 6x=1}\)
2. \(\displaystyle{ \sin 2x=1}\) i \(\displaystyle{ \sin 4x=-1}\) i \(\displaystyle{ \sin 6x=-1}\)
3. \(\displaystyle{ \sin 2x=-1}\) i \(\displaystyle{ \sin 4x=1}\) i \(\displaystyle{ \sin 6x=-1}\)
4. \(\displaystyle{ \sin 2x=-1}\) i \(\displaystyle{ \sin 4x=-1}\) i \(\displaystyle{ \sin 6x=1}\)
rozwiązałem każde z nich i wykazałem że dla odpowiednio równych sobie wartości w każdym z tych równań nie istnieje takie \(\displaystyle{ k \in C}\) które spełniałoby równanie. Co zrobiłem źle? Bo po sprawdzeniu dostałem za to 0 punktów

\(\displaystyle{ a\cdot\frac{1}{a}=1}\)? W którym miejscu?

Niemniej jednak rozpatrzenie takich przypadków jest słuszne.

Jeśli napiszesz z uzasadnieniem, że to równanie może być spełnione tylko wtedy gdy zachodzi jeden z tych czterech warunków i pokażesz, że w każdym z tych przypadków nie zachodzi, to z tego możesz wywnioskować sprzeczność.

Choć ja bym to zrobił inaczej.

Prościej jest zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ -1\le a,b,c\le 1}\) i \(\displaystyle{ abc=1}\), to \(\displaystyle{ |a|=|b|=|c|=1}\). Zatem jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest rozwiązaniem równania, to \(\displaystyle{ |\sin 2x|=1}\). Zatem \(\displaystyle{ 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ 4x=\pi+2k\pi}\) i wówczas \(\displaystyle{ \sin 4x=0}\). Sprzeczność.

JK

Ew. można przekształcić to równanie równoważnie do postaci "oczywistej" z której bezpośrednio widać sprzeczność i dać odpowiedni komentarz.