Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int \frac{x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} }{x(1 + \sqrt[3]{x}) } dx}\)

podstawiam
\(\displaystyle{ t^{6} = x}\)
\(\displaystyle{ 6t^{5}dt = dx}\)

\(\displaystyle{ 6 \int \frac{t^{6} + t^{2} + t}{t^{6}(1+t^2)} t^{5}dt = \int \frac{t^{5} + t + 1}{t^{2} + 1}}\)

Dzielę i otrzymuję :

\(\displaystyle{ 6 (\int t^{3} - t + \int \frac{-t}{t^2 + 1}) dt}\)

Czy wszystko jest dobrze do tego momentu?

Parę rzeczy jest do poprawy. Przy równości \(\displaystyle{ 6 \int \frac{t^{6} + t^{2} + t}{t^{6}(1+t^2)} t^{5}dt = \int \frac{t^{5} + t + 1}{t^{2} + 1}}\) brakuje \(\displaystyle{ 6}\) po prawej stronie przed całką, no i brakuje też \(\displaystyle{ dt}\), ale to pewnie literówka.

W dzieleniu \(\displaystyle{ \frac{t^{5} + t + 1}{t^{2} + 1}}\) wynik napisałeś dobry czyli \(\displaystyle{ t ^{3} -t}\), ale już reszta nie będzie równa \(\displaystyle{ \frac{-t}{t ^{2} +1}}\), tylko \(\displaystyle{ \frac{2t+1}{t ^{2} +1}}\).

Dzięki za sprawdzenie ;]