Matematyka.pl

Witam, mam mały problem z udowodnieniem tw:
Niech ciąg \(\displaystyle{ z_{n} =x_{n}+iy_{n}, n \in N .}\) Ciąg \(\displaystyle{ z_{n}}\) jest zbieżny do liczby \(\displaystyle{ \alpha +i \beta}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}x_{n}= \alpha}\) i \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }y_{n}= \beta}\).
Dowód w lewą \(\displaystyle{ ( \Leftarrow )}\)stronę wiem jak wygląda, ale niestety nie potrafię udowodnić tego w druga stronę, czyli
przy założeniu, że ciąg \(\displaystyle{ z_{n}}\) jest zbieżny to ciągi \(\displaystyle{ x_{n}}\) i \(\displaystyle{ y_{n}}\) też są zbieżne dpowiednio do \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)
Będę wdzięczna za pomoc:)

Skorzystaj z postaci modułu liczby zespolonej.

\(\displaystyle{ |z_n-z_0|=|(x_n-\alpha)+i(y_n-\beta)|=\sqrt{(x_n-\alpha)^2+(y_n-\beta)^2}}\)

i teraz to oszacuj. Dowód analogiczny jak na płaszczyźnie. Zbieżność ciągu punktów płaszczyzny jest równoważna zbieżności po współrzędnych.

Aż wstyd się przyznać, ale nie bardzo wiem przez co to oszacować... wczoraj właśnie utknęłam w tym miejcu zanim zapytałąm o to na forum:/

ZAł: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon \exists n_{0} \forall n \ge n_{0} \quad \left| z_{n}- (\alpha+i \beta ) \right|<\varepsilon}\).
Teza: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon_{1} \exists n_{1} \forall n \ge n_{1} \quad \left| x_{n}- \alpha \right|<\varepsilon_{1}}\) i
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon_{2} \exists n_{2} \forall n \ge n_{2} \quad \left| x_{n}- \alpha \right|<\varepsilon_{2}}\).
\(\displaystyle{ \left| z_{n}-z_{0}\right|=\left| (x_{n}+iy_{n}-( \alpha) +i \beta )\right|=\left| (x_{n}- \alpha +i(y_{n}- \beta )\right|= \sqrt{(x_{n}- \alpha )^{2}+(y_{n}- \beta )^{2}}<\varepsilon}\)
będę wdzięczna za pomoc, bo dowody to moja nienajlepsza strona...

dziękuję:)