Matematyka.pl

Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 \right\}}\) losujemy bez zwracania 4 liczby. Oblicz jakie jest prawdopodobienstwo, ze wsród 4 otrzymanych liczb jest dokładnie jedna para
liczb o sumie równej 14.

Wskazówka:

1. Ile jest wszystkich czwórek policzysz chyba bez problemu.

2. Jak obliczyć ile jest czwórek w których jest dokładnie jedna para liczb o sumie równej 14? Dzielimy liczby na pary o sumie równej 14 i liczbę 7.

a) wybieramy jedną parę takich liczb + liczbę 7 + dowolną z pozostałych
b) wybieramy jedną parę takich liczb + dowolną z pozostałych + dowolną z pozostałych z wyjątkiem liczby stanowiącej parę do tej wybranej jako druga.

Wystarczy zsumować ilości z a) oraz b)

czyli w
2a) będzie \(\displaystyle{ 6*1*10=60}\)
2b) będzie \(\displaystyle{ 6*11*9=594}\)
moc A=\(\displaystyle{ 654}\)
moc Omegi= \(\displaystyle{ {13 \choose 4}=715}\)
dobrze?
cos za duze te prawdopodbienstwo chyba

2a) OK

2b) Z tego co widzę, to chyba napisałem zbyt skrótowo, ale miał to być przypadek gdy te dodatkowe dwie liczby są różne od 7 (bo właśnie przypadek 2a uwzględnia te warianty gdy jedną z tych dwóch dodatkowych liczb jest siódemka).

Wówczas mamy 6 możliwości wyboru pary o sumie 14 + 10 możliwości wyboru trzeciej liczby + 8 możliwości wyboru czwartej liczby.
Ponieważ kolejność wyboru liczb nie ma oczywiście znaczenia, to należy uwzględnić to, że wybór każdej pary dwóch ostatnich liczb mamy uwzględniony dwukrotnie (bo np. wybranie kolejno liczby 4 jako trzeciej i 6 jako czwartej oznacza ten sam wybór co wybranie kolejno liczby 6 jako trzeciej i 4 jako czwartej). Wszystkich możliwości wyboru jest więc:

\(\displaystyle{ 6 \cdot \frac{10 \cdot 8}{2} =240}\)

Tym samym moc zbioru A wynosi:

\(\displaystyle{ |A|=60+240=300}\)

-- 26 mar 2012, o 22:39 --

Ilość możliwości wyboru dwóch ostatnich liczb dla przypadku 2b) możemy też łatwo obliczyć jako różnicę wszystkich możliwych par z dziesięciu liczb i tych par których suma wynosi 14 (a takich par jest oczywiście 5), czyli:

\(\displaystyle{ {10 \choose 2} -5=40}\)

a nie można tego jakoś ze schematu Bernoulliego ?

Nie bardzo, bo to doświadczenie nie ma nic wspólnego ze schamatem Bernouliego.

hej a nie wystarczy bez sumowania dwoch przypadkow zrobic w ten sposob:

\(\displaystyle{ 6}\) takich par \(\displaystyle{ \cdot}\) kombinacja 2 liczb z pozostalych jedenastu pomniejszone o pozostale \(\displaystyle{ 5}\) par, ktore nie moga sie juz pojawic?

to bedzie \(\displaystyle{ 6 \cdot (55-5)}\) czyli \(\displaystyle{ 6 \cdot 50 = 300}\)

\(\displaystyle{ P(a)=\frac{300}{715}}\)