Rozdawanie cukierków dzieciom
: 26 mar 2012, o 16:58
1. Na ile sposobów można rozdać pięciorgu dzieciom 15 cukierków, jeśli wszystkie cukierki są różne i każde dziecko ma dostać po trzy cukierki ?
Najłatwiej jakbyś o tym myślał jako o rozdawaniu dzieci cukierkom. Dzieci masz 15 - 5 rozdzajów z każdego po 3.
Teraz wyobraź sobie że cukierki leżą na podłodze w linii. Wtedy przydzielenie dzieci polegałoby na ustawienie się dzieci w szeregu przed cukierkiem który wybrali.
Świta? Tak, to permutacje z powtórzeniami - po prostu wyobraź sobie że masz 15 piłek w 5ciu kolorach (czerwony, zielony, czarny, granatowy i pomarańczowy), po 3 z każdego koloru. Teraz tak. Możemy oszacować, że ilość sposobów na ustawienie ich w linii to 15!, ale to nie uwzględnia tego że niektóre piłki są nierozróżnialne. Np. wezmy sobie jakąś permutacje która ma czerwone piłki na 1,2 i 4tej pozycji. My biorąc ją pod uwagę liczymy 3! permutacji:
12x3xxxxxxxxxxx
13x2xxxxxxxxxxx
21x3xxxxxxxxxxx
23x1xxxxxxxxxxx
31x2xxxxxxxxxxx
32x1xxxxxxxxxxx
Tak więc żeby każdą permutację która zawiera czerwone piłki liczymy o 6 razy za duzo. Aby wziąc to pod uwagę dzielimy wynik przez 3!. To rozumowanie powtarzamy dla każdego z 5ciu kolorow i konczymy z:
\(\displaystyle{ \frac{15!}{(3!)^5}}\)
Mam nadzieję, żę pomogłem.