Matematyka.pl

Witam ,
mam problem z jednym podpunktem zadania.
W tym zadaniu rozwazamy wielomiany nad cialem \(\displaystyle{ Z_4}\) :
Pokazac ze wielomian \(\displaystyle{ x^3 +3x +2}\) jest nierozkladalny.
Kryterium Eisensteina nie rozstrzyga, poniewaz nie istnieje taka liczba pierwsaz ktora dzieli \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) jednoczesnie.
Jak zatem to pokazac?

Nic nie namieszałeś? \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_4}\) nie jest ciałem.

Wielomian stopnia trzy jest rozkładalny nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) ma pierwiastek w \(\displaystyle{ K}\), ponieważ wielomian stopnia trzy da się rozłożyć na dwa wielomiany niższych stopni tylko w ten sposób, by jeden wielomian był stopnia jeden, a drugi --- stopnia dwa.

Wielomian stopnia cztery może natomiast być rozkładalny, ale nie mieć pierwiastka w ciele \(\displaystyle{ K}\) --- może rozkładać się na dwa nierozkładalne wielomiany stopnia 2.