Matematyka.pl

Mam jakieś super objawienie, zgaduję, albo rysuję wykres naszej funkcji i zauważam, że nasze \(\displaystyle{ x \approx 2}\). W sumie to może to nie takie głupie, bo jak dałem dziś to zadanko koledze to od razu powiedział "\(\displaystyle{ x=2}\) lub coś koło tego". wiem, że \(\displaystyle{ f(x)=x(x-6)^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ f(2)=2 \ast (2-6)^{2} = 2 \ast 16 = 32}\). Teraz pozostaje szukać takiego x dla którego \(\displaystyle{ f(x) > 32}\). Niech szukane \(\displaystyle{ x=2+a}\) gdzie z oczywistych przyczyn \(\displaystyle{ a \in \left\langle -2, 4\right\rangle}\). Wtedy \(\displaystyle{ x-6=a-4}\) czyli \(\displaystyle{ (x-6)^{2}=a^{2}-8a+16}\), zatem \(\displaystyle{ f(x)=a^{3}-6a^{2}+32}\). \(\displaystyle{ f(x)>32 \Leftrightarrow a^{3}-6a^{2}+32>32 \Leftrightarrow a^{3}-6a^{2}>0 \Leftrightarrow a^{2}(a-6)>0}\). Do rozwiązania została banalna nierówność, do zrobienia na dziesięć tysięcy różnych sposobów, w każdym razie, dla każdego \(\displaystyle{ a}\) (z wcześniej podawanych przedziałów), \(\displaystyle{ f(x) \le 32}\). W szczególności dla \(\displaystyle{ a=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=2}\), \(\displaystyle{ f(x)}\) osiąga największą wartość równą \(\displaystyle{ 32}\).