XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
justynas880
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 24 mar 2012, o 14:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Ropczyce

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: justynas880 » 24 mar 2012, o 14:47

1. Wykaż , że
\(\displaystyle{ \sqrt{17+12 \sqrt{2} } - \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} } - \sqrt[4]{17+ 12\sqrt{2} } = 0}\)

2. Wyznacz a i b, tak aby były one równocześnie pierwiastkami dwukrotnymi wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +2ax ^{3} +3(b+1)x ^{2} -4x+4}\)


3. Dowieść, że jeśli n jest liczbą całkowitą, to
\(\displaystyle{ \frac{n ^{5} }{120} - \frac{n ^{3} }{24} + \frac{n}{30}}\)
jest też liczbą całkowitą.


4. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c spełniających warunek
\(\displaystyle{ a+b+c= \sqrt{3} ,}\)
jest prawdziwa nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3 \sqrt{3}}\)

5. W kwadracie o polu 20 dwa wierzchołki jednego z boków połączono ze środkiem przeciwległego boku otrzymując trójkąt równoramienny. Następnie dwa wierzchołki sąsiedniego boku połączono ze środkiem przeciwległego boku, otrzymując również trójkąt równoramienny. Oblicz pole części wspólnej tych trójkątów.

Jak poradziliście sobie z tymi zadaniami?
Pamiętacie może wyniki?;)
Ostatnio zmieniony 24 mar 2012, o 17:06 przez justynas880, łącznie zmieniany 1 raz.

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: kamil13151 » 24 mar 2012, o 15:16

Pierwsze powinno tak wyglądać:
\(\displaystyle{ \sqrt{17+12 \sqrt{2} } - \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} } - \sqrt[4]{17+ 12\sqrt{2} } = 0}\)

Czy już jest po konkursie ?
Ostatnio zmieniony 24 mar 2012, o 15:31 przez kamil13151, łącznie zmieniany 3 razy.

RandomGuy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 26 lis 2010, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie
Podziękował: 3 razy

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: RandomGuy » 24 mar 2012, o 15:25

Przy okazji dodam zadania poziom I:
1. Wędkarz złowił dużą rybę: "Ogon ważył 6 razy mniej niż głowa z tułowiem. Gdyby tułów był o 6 kg cięższy, to głowa z tułowiem ważyłaby 10 razy więcej niż ogon. Różnica wag tułowia i głowy była 3,5 razy większa niż waga ogona." Ile ważyła ta ryba?
2. Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ W}\), nie wykonując potęgowania pod pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ W= \sqrt{2001 ^{2}+2001^{2}*2002^{2}+2002^{2} }.}\)
3. Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a = x + y, b = x^{2}+y^{2},c=x^{3}+y^{3}}\), to \(\displaystyle{ a^{3} = 3ab - 2c}\)
4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A, B, C, w którym długości odpowiednich boków są równe a, b, c. Wierzchołek C tego trójkąta zrzutowano pod kątem prostym na dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach A i B, otrzymując w ten sposób punkty M i N. Oblicz długość odcinka MN.
5. Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego wysokość wynosi 14 cm, wiedząc, że jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się w stosunku 2:5.
kamil13151 pisze: Czy już jest po konkursie ?
Tak.
Ostatnio zmieniony 24 mar 2012, o 18:31 przez RandomGuy, łącznie zmieniany 1 raz.

justynas880
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 24 mar 2012, o 14:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Ropczyce

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: justynas880 » 24 mar 2012, o 16:44

Ma ktoś może rozwiązania 1,4 i 5 zadania?

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: kamil13151 » 24 mar 2012, o 16:58

justynas880, z tych od Ciebie ?

justynas880
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 24 mar 2012, o 14:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Ropczyce

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: justynas880 » 24 mar 2012, o 17:04

Tak. Tylko to pierwsze powinno być tak jak Ty napisałeś;)

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: kamil13151 » 24 mar 2012, o 17:11

1:    
2:    
3:    
Na razie nie mam czasu na resztę.

justynas880
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 24 mar 2012, o 14:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Ropczyce

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: justynas880 » 24 mar 2012, o 17:23

ok dzięki;)

MCC
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 2 lut 2010, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Br-ce
Podziękował: 1 raz

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: MCC » 24 mar 2012, o 18:58

4:    

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: kamil13151 » 24 mar 2012, o 19:23

Trochę liczenia było...
5:    

justynas880
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 24 mar 2012, o 14:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Ropczyce

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: justynas880 » 24 mar 2012, o 21:38

Dziękuję bardzo:) Faktycznie trochę liczenia w tym piątym.
A jak myślisz, czy trójkąty CGB, CDH, DHA i jeszcze jeden na dole mają takie same pola?
Bo wtedy wystarczyło by obliczyć ich wysokość i odjąć pola tych trójkątów od pola kwadratu i też by pewnie wyszło? Tylko nie mogę dojść do tego jak by można obliczyć tą wysokość albo czy w ogóle da się ją obliczyć.

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: kamil13151 » 24 mar 2012, o 22:01

Tylko pola trójkątów \(\displaystyle{ CDH, DHA}\) są takie same, \(\displaystyle{ CGB}\) już inne.

Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3360
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: mortan517 » 25 mar 2012, o 22:24

Mógłby ktoś napisać rozwiązania do zadań z poziomu pierwszego?
Wielkie dzięki -- 29 mar 2012, o 16:06 --wiem, że możecie nie mieć czasu i te sprawy, ale jakby ktoś znalazł chwilkę to proszę o rozwiązania tych 2/5 zadań, które widnieją powyżej już (to jest pierwszy poziom / etap rejonowy)

2. Oblicz wartość wyrażenia W, nie wykonując potęgowania pod pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ W= \sqrt{2001 ^{2}+2001^{2}*2002^{2}+2002^{2} }.}\)

4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A, B, C, w którym długości odpowiednich boków są równe a, b, c. Wierzchołek C tego trójkąta zrzutowano pod kątem prostym na dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach A i B, otrzymując w ten sposób punkty M i N. Oblicz długość odcinka MN.

RandomGuy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 26 lis 2010, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie
Podziękował: 3 razy

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: RandomGuy » 30 mar 2012, o 16:35

Spróbuj pomyśleć sam, drugie idzie na wzorach skróconego mnożenia, w czwartym poobserwuj kąty.

michaelmontana16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 1 kwie 2012, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tennessee

XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

Post autor: michaelmontana16 » 1 kwie 2012, o 11:39

Ja nie widzę tego 2 i 4 . Tak samo tych dwóch nie zrobiłem i miałęm 19 pkt.

W 1 wyszło 10,5
W tym z trapezem 196 ; )
dowód to tylko przekształcić i podstawić

ODPOWIEDZ