Tożsamość dla liczb nieujemnych
: 22 mar 2012, o 14:31
Pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N_+}}\), mając \(\displaystyle{ n}\) dowolnie wybranych liczb nieujemnych \(\displaystyle{ a_i}\), istnieje takie \(\displaystyle{ p \in \mathbb{N_+}}\), że możemy dobrać \(\displaystyle{ p}\) liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ z_j}\), że zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i=\sum_{j=1}^{p} {z_j}^2}\)
Ściśle: \(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb{N_+}}\left(\forall_{a_i \ge 0,_{i=1,2,...,n}}\left(\exists_{p \in \mathbb{N_+}}\left(\exists_{z_j \in \mathbb{R},_{j=1,2,...,p}} } \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i=\sum_{j=1}^{p} {z_j}^2\right)\right)\right)}\)
Potocznie: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i}\) (przy podanych powyżej warunkach) można zawsze przedstawić w postaci sumy kwadratów.
Ściśle: \(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb{N_+}}\left(\forall_{a_i \ge 0,_{i=1,2,...,n}}\left(\exists_{p \in \mathbb{N_+}}\left(\exists_{z_j \in \mathbb{R},_{j=1,2,...,p}} } \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i=\sum_{j=1}^{p} {z_j}^2\right)\right)\right)}\)
Potocznie: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i}\) (przy podanych powyżej warunkach) można zawsze przedstawić w postaci sumy kwadratów.