Matematyka.pl

Potrzebuję pomocy z udowodnieniem poniższej równości

\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{3 \pi }{36} \right) \tg \left( \frac{5 \pi}{36} \right) \tg \left( \frac{7 \pi}{36} \right) =\tg \left( \frac{ \pi}{36} \right)}\)

Pozdrawiam i dzięki za pomoc,
Prookva

Chyba coś źle przepisałeś, bo to fałsz.

Raz przeliczałem ale miałem prawdę.

Co źle wpisałam?

Liczyłem na kalkulatorze i wyszło ok (wolfram może ,,za mądry jest" i mu wyszło prawie zero).

Istotnie wychodzi zero (przerzuciwszy wszystko na jedną stronę). Wystarczy pokombinować ze wzorami na zamianę sumy odpowiednich funkcji trygonometrycznych na iloczyn funkcji trygonometrycznych żeby to pokazać. A co do wolframu, to raczej zbyt finezyjnie nie myśli.

Wskazówka:

Policz \(\displaystyle{ \tg \left(\frac{3\pi}{36}\right)}\)

\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{5 \pi}{36} \right) \tg \left( \frac{7 \pi}{36} \right) \cdot \ctg \left(\frac{\pi}{36}\right)=\frac{\sin \left(\frac{5 \pi }{36}\right)\sin \left(\frac{7\pi}{36}\right)\cos \left(\frac{\pi}{36} \right)}{\cos \left(\frac{5 \pi }{36}\right)\cos \left(\frac{7\pi}{36}\right)\sin \left(\frac{\pi}{36}\right)}}\)

\(\displaystyle{ \cos \left( \alpha - \beta \right)+\cos ( \alpha + \beta )=2\cos \alpha \cos \beta}\)
\(\displaystyle{ \cos( \alpha - \beta )-\cos( \alpha + \beta )=2\sin \alpha \sin \beta}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha =\cos \left(\frac{\pi}{2}- \alpha \right)}\)

To chyba wszystko - pokombinuj z zamianą iloczynów sinusów i cosinusów na sumę wykorzystując powyższe wzory.