i czemu \(\displaystyle{ 2^{x+y} - 3^y}\) a nie np. \(\displaystyle{ 2^{x} - 3^y}\) ?
To właściwie bez znaczenia, zastosowałem taki zapis, bo potrzebne mi było rozdzielenie tych dwóch zmiennych do innych celów.
A znowu np gdy \(\displaystyle{ 2^6 - 3^2= 5 \cdot 11}\) to \(\displaystyle{ 2^{12} - 3^4= 5 \cdot 11\cdot (2^6 +3^2)}\) itd
wiec bedzie nieskonczenie wiele
Faktycznie.
gdy \(\displaystyle{ c=2}\) rozwiazań brak...
Wynik
\(\displaystyle{ 2^{x+y}-3^{y}}\) jest zawsze nieparzysty, więc dla każdego parzystego
\(\displaystyle{ c}\) nie znajdziemy rozwiazań.
Wcześniej wyraziłem się nieco nieprecyzyjnie odnośnie związku tego równania z występowaniem liczb które zapętlają się w pewnych ciągach.
Wzór według którego możemy wyznaczyć wszystkie liczby (nieparzyste) które zapętlają się w dowolnym ciągu typu collatza, postaci:
\(\displaystyle{ f(n) = \begin{cases} \frac {p}{2} \cdot n+ \frac {2^{x+y}-p^{y}}{2} \cdot r \ \ \ gdy \ n \ jest \ nieparzyste\\ \ \ \frac {n}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ gdy \ n \ jest \ parzyste\end{cases}}\)
Wygląda nieco bardziej skomplikowanie.
Niech
\(\displaystyle{ p}\) będzie dowolną nieparzystą liczbą naturalną.
Niech
\(\displaystyle{ z}\) będzie jakąś liczbą nieparzystą, zdefiniowaną następująco:
\(\displaystyle{ z = [1, (\frac {p}{2})^{1}, (\frac {p}{2})^{2}, ... , (\frac {p}{2})^{y-1}] \cdot \begin{bmatrix} 2^{x^{'}}\\2^{x^{''}}\\.\\.\\.\\2^{x^{y-1}}\\1\end{bmatrix} \cdot 2^{y-1}}\)
oraz spełnione są warunki:
1)
\(\displaystyle{ x^{'}, x^{''}, ... , x^{y-1} \in [0, x]}\)
2)
\(\displaystyle{ x^{'} \ge x^{''} \ge ... \ge x^{y-1}}\)
Niech
\(\displaystyle{ x}\) będzie dowolną liczbą naturalną oraz ilością operacji typu
\(\displaystyle{ n \mapsto \frac {n}{2}}\) w pętli liczby
\(\displaystyle{ L = z \cdot r}\).
Niech
\(\displaystyle{ y}\) będzie dowolną liczbą naturalną oraz ilością operacji typu
\(\displaystyle{ n \mapsto \frac {p}{2} \cdot n + \frac {2^{x+y}-p^{y}}{2} \cdot r}\) w pętli liczby
\(\displaystyle{ L= z \cdot r}\).
Niech
\(\displaystyle{ r}\) będzie pewną liczbą wymierną taką, że
\(\displaystyle{ (2^{x+y}-p^{y}) \cdot r}\) jest liczbą całkowitą oraz
\(\displaystyle{ z \cdot r}\) także jest liczbą całkowitą.
Za pomocą niniejszego wzoru, po przyjęciu odpowiednich zmiennych definiujących nasz ciąg możemy wyznaczyć dowolne liczby
\(\displaystyle{ L = z \cdot r}\) zapętlające się w ciągach typu collatza.
Przykład:
W pierwszej kolejności dobieramy zmienną
\(\displaystyle{ p}\), przyjmijmy
\(\displaystyle{ p=3}\). Następnie określmy
\(\displaystyle{ y=4}\) i
\(\displaystyle{ x=4}\), łatwo przewidzieć, że nasza pętla będzie miała zatem długość
\(\displaystyle{ x+y=8}\). Załóżmy, że
\(\displaystyle{ r=3}\). Definicja ciągu w którym będzie się zapętlać nasza liczba będzie zatem następujaca:
\(\displaystyle{ f(n) = \begin{cases} 1,5 \cdot n+ 262,5 \ \ \ gdy \ n \ jest \ nieparzyste\\ \ \ \frac {n}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ gdy \ n \ jest \ parzyste\end{cases}}\)
Wyznaczmy
\(\displaystyle{ z}\). Zauważmy, że możliwości różnego dobrania zmiennej
\(\displaystyle{ z}\) tak, aby spełnione były warunki:
1)
\(\displaystyle{ x^{'}, x^{''}, ... , x^{y-1} \in [0, x]}\)
2)
\(\displaystyle{ x^{'} \ge x^{''} \ge ... \ge x^{y-1}}\)
jest:
\(\displaystyle{ {x+y-1 \choose y-1} = \frac {(4+4-1)!}{4! \cdot (4-1)!} = 35}\)
I dla każdej z tych możliwości dostaniemy pewną pętlę. My weźmiemy zmienną
\(\displaystyle{ z}\) określoną następująco:
\(\displaystyle{ z = [1, (\frac {3}{2})^{1}, (\frac {3}{2})^{2}, (\frac {3}{2})^{3}] \cdot \begin{bmatrix} 2^{3}\\2^{2}\\2^{2}\\1\end{bmatrix} \cdot 2^{3} = (8 + 6 + 9 + 3,375) \cdot 8 = 211}\)
Liczba
\(\displaystyle{ L}\) która się zapętla w naszym ciągu wynosi zatem:
\(\displaystyle{ L=211 \cdot 3 = 633}\)
A oto owa pętla:
\(\displaystyle{ 633, 1212, 606, 303, 717, 1338, 669, 1266, 633, ...}\)
Dlatego tak naprawdę, aby potwierdzić, że na przykład w ciągu:
\(\displaystyle{ f(n) = \begin{cases} \frac {3}{2} \cdot n+ \frac {2^{3}-3^{1}}{2} \cdot 1 \ \ \ gdy \ n \ jest \ nieparzyste\\ \ \ \frac {n}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ gdy \ n \ jest \ parzyste\end{cases}}\)
występuje nieskończenie wiele liczb które się zapętlają należałoby wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych
\(\displaystyle{ L=z \cdot r}\). Przy czym
\(\displaystyle{ x}\),
\(\displaystyle{ y}\) oraz
\(\displaystyle{ r}\) będą się zmieniać, a
\(\displaystyle{ r}\) będzie wynosić kolejno
\(\displaystyle{ 1}\),
\(\displaystyle{ \frac {1}{2^3+3^1}}\),
\(\displaystyle{ \frac {1}{(2^3+3^1) \cdot (2^6+3^2)}}\), itd. Chyba nie jest oczywiste, że dla każdego przypadku
\(\displaystyle{ r}\) będziemy znajdować jakąś liczbę
\(\displaystyle{ z}\) taką, że
\(\displaystyle{ r}\) ją dzieli.