Matematyka.pl

prosze o pomoc w rozwiazaniu ponizszych calek
jedyne co wiem ze w przykladzie 5) trzeba zastosowac podstawieni euler'a czy kogos. dochodze do momentu, ze duzo sie skraca i nie moge wrocic z podstawieniem, po prostu gubie sie. a reszty nie wiem nawet jak zaczac.

1) \(\displaystyle{ \int(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x-2})dx}\)

2) \(\displaystyle{ \int xe^{x} dx}\)

3) \(\displaystyle{ \int \frac{cos^{3}x}{sin^{2}x}dx}\)

4) \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x+2)(x+3)}}\)

5) \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}}\)

6) \(\displaystyle{ \int \frac{(3x+1)dx}{(x+2)^{2}}}\)

z gory dzieki za pomoc

1) rozbij na trzy całki:
\(\displaystyle{ \int(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x-2})=4\int x^{-\frac{1}{2}}-3\int{x^{-2}}+\int\frac{1}{x-2}=8\sqrt{x}+\frac{3}{x}+ln|x-2|+C}\)
2) przez części:
\(\displaystyle{ u=x\,\,\, u^{,}=1}\)
\(\displaystyle{ v^{'}=e^{x} v^{'}=e^{x}}\)
\(\displaystyle{ \int xe^{x}dx=xe^{x}-\int{e^{x}}dx=xe^{x}-e^{x}=e^{x}(x-1)+C}\)
3)
\(\displaystyle{ \frac{cos^{3}x}{sin^{2}x}=\frac{cosx\cdot{cos^{2}x}}{sin^{2}x}=\frac{cosx(1-sin^{2}x)}{sin^{2}x}=cosx(\frac{1}{sin^{2}x}-1)}\)
I teraz podstawienie za \(\displaystyle{ sinx}\) i będzie gotowe.
4) rozkład na ułamki proste
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}}\)
\(\displaystyle{ 1=A(x+3)+B(x+2)}\)
\(\displaystyle{ A=1}\)
\(\displaystyle{ B=-1}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(x+2)(x+3)}=\int\frac{1}{x+2}+\int\frac{-1}{x+3}=ln|x+2|-ln|x+3|+C=ln|\frac{x+2}{x+3}|+C}\)

a skąd się wzięło, że A=1 oraz B=-1 ?

\(\displaystyle{ 1=A(x+3)+B(x+2)}\)
\(\displaystyle{ 1=AX+3A+BX+2B}\)
\(\displaystyle{ 1=(A+B)x+3A+2B}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}A+B=0\\3A+2B=1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}A=-B\\3A+2B=1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}A=-B\\-3B+2B=1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}A=-B\\B=-1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}A=1\\B=-1\end{array}}\)

dziękuję

[ Dodano: 18 Luty 2007, 18:51 ]
jeszcze co do 3)
jak podstawie t=sinx to co z tym dalej zrobic? co z cosx ?

Mam podobny przykładzik jak 4, jak by wyglądał zapis rozbicia na ułamki proste, jeśli oba wyrażenia w mianowniku byłyby podniesione do kwadratu. Kombinuje i mi idiotyzmy wychodzą.