Matematyka.pl

w matematyce konkretnej mam taki wzorek \(\displaystyle{ \left(\ln \frac{1}{1-z}\right)^m=m! \sum_{n\ge 0}^{} \left[ \begin{array}{c} n\\m \end{array} \right] \frac{z^n}{n!}}\) ktory jest mi poczebny jak go udowodnic ??

-- 18 mar 2012, o 19:15 --

to nawet samym \(\displaystyle{ \sum_{n\ge 0}^{} \left[ \begin{array}{c} n\\m \end{array} \right] \frac{z^n}{n!}}\) mozna by sie zajac, interproetacja kombinatoryczna bylaby jakas taka, ze jest to wykladnicza funkcja tworzaca ciagu \(\displaystyle{ a_n=}\)ilosc \(\displaystyle{ m}\) cykli \(\displaystyle{ n}\), dla wczesniej ustalonego \(\displaystyle{ m}\),ale nie wiem jak stworzyc ta funkcje na podstawie tych danych

a indukcja to nie jest jakos tak nieelegancko?? bo szczerze mowiac to bardziej interesuje mnie wyprowadzanie takich rzeczy

w pierwszym poscie uzylem slowa 'udowodnic' co faktycznie moglo skierowac w inna strone

-- 19 mar 2012, o 21:21 --

pytanie o metody wyprowadzania jest aktualne ale indukcja tez dobra chyba nie mam co wybrzydzac

indukcja oczywiscie po \(\displaystyle{ m}\) ale klopot mam z ta liczba stirlinga. co tutaj mozna zastosowac oprocz wzoru rekurencyjnego na liczby stirlinga ??? bo zostaje mi ciagle u dolu w tej liczbie \(\displaystyle{ m+1}\) i nie wiem co z tym mozna zrobic

Probuje to udowodnic indukcja ale podobnie jak kolega wyzej mam problem z ta liczba Strilinga... Ma ktos jakis pomysl/wskazowke? W ktorym momencie skorzystac z pochodnych?

Indukcja po m.
\(\displaystyle{ \left( \ln \frac{1}{1-x} \right) ^{m+1} = \left( \ln \frac{1}{1-x} \right) \left( \ln \frac{1}{1-x} \right) ^{m}}\)
Rozwinąć ten pierwszy logarytm w szereg, skorzystać z założenia indukcyjnego, pomnożyć wykładnicze fcje tworzące (splot dwumianowy). A że to, co w ten sposób wyjdzie, to to samo, co chcemy, łatwo jest pokazać kombinatorycznie.