Wykaż nierówność z logarytmami.
: 15 mar 2012, o 11:52
Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x>1,\ y>1 \ i \ z>1,}\) to \(\displaystyle{ \log _{x} z + \log _{y} z \ge 4 \cdot \log _{xy} z}\)
\(\displaystyle{ 4 \cdot \log _{xy} z=\frac{4}{\log_{z}x +\log_{z}y}}\)
Ponieważ logarytmy te są dodatnie, to \(\displaystyle{ \log_{z}x +\log_{z}y \ge 2 \sqrt{\log_{z}x \cdot \log_{z}y}}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{4}{\log_{z}x +\log_{z}y} \le \frac{2}{ \sqrt{\log_{z}x \cdot \log_{z}y} }=2 \sqrt{ \log_{x} z \cdot \log_{y}z } \le \log _{x} z + \log _{y} z}\)