Matematyka.pl

Witam, mam problem z takim zadaniem, kilka innych podpunktow juz rozwiazalem, ale z tymi mam problem:
Uzywajac tw. \(\displaystyle{ am+bn = NWD(m,n)}\) , udowodnij:
a) Jesli \(\displaystyle{ NWD(k,m) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ NWD(k,n) = 1}\) to \(\displaystyle{ NWD(k,mn) = 1}\).
b) Jesli \(\displaystyle{ NWD(k,m_i) = 1}\) dla \(\displaystyle{ i = 1,...,n}\) , to \(\displaystyle{ NWD(k,m_1 \cdot ... \cdot m_n) = 1}\).
c) Jesli \(\displaystyle{ d|mn}\) i \(\displaystyle{ NWD(d,m)}\) to \(\displaystyle{ d|n}\).

Z gory dzieki za pomoc,
Pozdrawiam

a)
Korzystając z tego twierdzenia istnieją a,b,c,d takie że
\(\displaystyle{ ak + bm = 1}\) oraz \(\displaystyle{ ck + dn = 1}\)
Mnożymy stronami
\(\displaystyle{ 1 = (ak+bm)(ck + dn) = ack^{2} + adkn + bckm + bdmn = \\ (ack + adn + bcm) \cdot k + bd \cdot mn}\)
niech \(\displaystyle{ e = ack + adn + bcm}\) \(\displaystyle{ f = bd}\)
Z tego twierdzenia mamy, że skoro istnieją takie liczby \(\displaystyle{ e}\) i \(\displaystyle{ f}\), że \(\displaystyle{ ek + fmn = 1}\) to \(\displaystyle{ NWD(k, mn) = 1}\)
b)
Indukcja. Baza jest w punkcie a)
Trzeba skorzystać z własności \(\displaystyle{ NWD(k, m_{1} ... m_{n}) = NWD(NWD(k, m_{1}...m_{n-1}), m_{n})}\)
Albo po prostu wielokrotnie korzystać z a)
c)
sam napis \(\displaystyle{ NWD(d,m)}\) nic nie znaczy więc zakładam, że chodziło Ci o \(\displaystyle{ NWD(d,m) = 1}\)
Wtedy istnieje \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) że \(\displaystyle{ 1 = dx + my}\)
mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ n = dxn + mny}\)
\(\displaystyle{ d | dxn}\) oraz \(\displaystyle{ d |mny}\) więc \(\displaystyle{ d | n}\)