Całki niewłaściwe - kryterium ilorazowe

[mikrobart]

Mam zbadać zbieżność całek kryterium ilorazowym, nie umiem dobrać odpowiedniej funkcji - proszę o pomoc:

a) \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{-1} \frac{(x+1) \mbox{d}x }{ \sqrt{1-x^3} }}\)

b) \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \sin ^2 \frac{1}{x} \mbox{d}x}\)

c) \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{x^2 \mbox{d}x }{x^3 - \sin x}}\)

[MichalPWr]

a) \(\displaystyle{ \frac{2x}{\sqrt{-x^3}}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} }}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{x^2 - \sin x} \le\frac{x ^{2} }{x^3 - x}}\)

[mikrobart]

Poprosiłbym o krótkie umotywowanie, dlaczego akurat takie funkcje, ciężko mi się połapać

[MichalPWr]

a) zwiększam licznik zmniejszam mianownik o 1
b) \(\displaystyle{ \sin x<x}\)
c) tu się pomyliłem, przez pośpiech...
\(\displaystyle{ \sin x<x}\)
czyli będzie
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{x^3 - \sin x} \le \frac{x ^{2} }{x^3 - x}\le \frac{x }{x^{2} - 1}\le \frac{x }{x^{2} - x}\le \frac{1 }{x - 1}}\)

[mikrobart]

Kurcze, ten ostatni przykład coś mi nie wychodzi - mógłbyś mi go policzyć, razem z wyliczeniem granicy ilorazu? Mam chyba wieczorną niemoc twórczą.

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2 }{x^3 - \sin x} \le \frac{1 }{x - 1}=g(x)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x^2 }{x^3 - \sin x}}{\frac{1 }{x - 1}}=\lim_{x \to \infty } \frac{x^2\left( x-1\right) }{x^3 - \sin x}=1=k}\)

\(\displaystyle{ 0<k< \infty}\)

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{1 }{x - 1}dx= \lim_{ T \to \infty }\int_{1}^{T } \frac{1 }{x - 1}dx ...}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{1 }{x - 1}dx=\ln\left| x-1\right|}\)

\(\displaystyle{ ...=\lim_{ T \to \infty }\left[ \ln\left| x-1\right|\right]_{1}^{ \infty }=\lim_{ T \to \infty }\left[ \ln\left| T-1\right|-\ln\left| 1-1\right|\right]=}\)

\(\displaystyle{ =\lim_{ T \to \infty }\ln\left| \frac{T-1}{1-1} \right|=\lim_{ T \to \infty }\ln\left| \frac{ \infty }{0} \right|= \infty}\)
odp. Na mocy kryterium ilorazowego całka \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{x^2 }{x^3 - \sin x}dx}\) jest rozbieżna.

[mikrobart]

Jak policzyłeś tę granicę, gdzie wyszło 1? To mój podstawowy problem w tym zadaniu.

[MichalPWr]

Wyciągnąłem największą potęgę przed nawias.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x^2\left( x-1\right) }{x^3 - \sin x}=\lim_{x \to \infty } \frac{x ^{3}-x }{x^3 - \sin x}=\lim_{x \to \infty } \frac{x^3\left(1- \frac{1}{x ^{2} } \right) }{x^3\left(1- \frac{\sin x}{x^3} \right) }=1}\)

Zauważ, że nie znamy granicy \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \sin x}\) ale wiemy, że będzie się ona "miotała" pomiędzy \(\displaystyle{ 1}\) a \(\displaystyle{ -1}\) więc \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\frac{\sin x}{x^3}=0.}\)