Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18699
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3708 razy

Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym

Post autor: szw1710 » 11 mar 2012, o 21:04

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(m,\sigma)}\) z wartością średnią \(\displaystyle{ m}\) i odchyleniem standardowym \(\displaystyle{ \sigma}\). Wtedy zmienna losowa
\(\displaystyle{ U=\frac{X-m}{\sigma}}\)
ma standardowy rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Oznaczmy jego dystrybuantę przez \(\displaystyle{ \Phi}\). Jest ona stablicowana. Zachodzi też wzór \(\displaystyle{ \Phi(-u)=1-\Phi(u)}\).

Zachodzą następujące wzory:
  1. \(\displaystyle{ P(X<a)=P\left(\dfrac{X-m}{\sigma}<\dfrac{a-m}{\sigma}\right)=\Phi\left(\dfrac{a-m}{\sigma}\right)}\)
  2. \(\displaystyle{ P(X\ge b)=1-P(X<b)=1-\Phi\left(\dfrac{b-m}{\sigma}\right)=\Phi\left(-\dfrac{b-m}{\sigma}\right)}\)
  3. \(\displaystyle{ P(a\le X< b)=\Phi\left(\dfrac{b-m}{\sigma}\right)-\Phi\left(\dfrac{a-m}{\sigma}\right)}\)
Wszystkie występujące powyżej nierówności można dowolnie zamieniać na silne bądź słabe, wedle potrzeb.

Przykład. W pewnym kinie frekwencja na seansie filmowym ma rozkład normalny z wartością średnią \(\displaystyle{ 120}\) widzów i odchyleniem standardowym \(\displaystyle{ 40}\) widzów. Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń a) na seans przyjdzie co najwyżej \(\displaystyle{ 100}\) widzów, b) na seans przyjdzie co najmniej \(\displaystyle{ 180}\) widzów, c) liczba widzów na seansie leży pomiędzy \(\displaystyle{ 80}\) a \(\displaystyle{ 150}\).

Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę widzów na seansie. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(120,40)}\), a więc \(\displaystyle{ m=120}\), \(\displaystyle{ \sigma=40}\).

ad a)

\(\displaystyle{ P(X\le 100)=\Phi\left(\frac{100-120}{40}\right)=\Phi(-0.5)=1-\Phi(0.5)=1-0.6915=0.3085}\)


ad b)

\(\displaystyle{ P(X\ge 180)=1-\Phi\left(\frac{180-120}{40}\right)=1-\Phi(1.5)=1-0.9332=0.0668}\)


ad c)

\(\displaystyle{ \begin{aligned} P(80\le X\le 150)&=\Phi\left(\frac{150-120}{40}\right)-\Phi\left(\frac{80-120}{40}\right)=\\ &=\Phi(0.75)-\Phi(-1)=\Phi(0.75)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=\\ &=0.7734-\bigl(1-0.8413\bigr)=0.7734-0.1587=0.6147 \end{aligned}}\)

ODPOWIEDZ