Matematyka.pl

oblicz: \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{x^4}}\)

nie bede robil del'hospitalem bo do wieczora nie skoncze i w dodatku sie pomyle

jakies rozwiniecie w szereg cosinusa tutaj cos daje ?? nie wiem za bardzo jak to wykorzystac

Myślę, że przyda się zależność \(\displaystyle{ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1-\cos x }{2}}\).

ale to gdzie by mialo sie przydac?? w del'hospitalu ??

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{x^4}=H=\lim_{x \to 0}\frac{\sin (1-\cos x) \sin x}{4x^{3}}\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin (1-\cos x)}{1-\cos x} \cdot \left( 1-\cos x\right) \frac{\sin x}{x}x}{4x^{3}}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{4x ^{2} }= \frac{1}{8}}\)

Pamiętając, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x ^{2} }= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1}\)

Przy korzystaniu z zależności, którą podała Justka, nie potrzebujemy używać reguły de l'Hospitala.

chyba jednak najprosciej: \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{x^4}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos (1-\cos x)}{(1-\cos x)^2}\cdot \left(\frac{(1-\cos x)}{x^2}\right)^2}\) korzystajac z \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12}\)

kriegor pisze:\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12}\)

Spoko, ale wyrażenie pod granicą to właśnie przekształcone \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right)^2}}\)

bosa_Nike racja, dzieki wielkie za zwrocenie uwagi!