Matematyka.pl

Jak wyznaczyć sumę szeregu :

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^{p}x ^{n}}\)

gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb N}\)
lub w jakiej książce mogę na to pytanie znaleźć odpowiedź. Z góry dziękuję za pomoc

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^{p}x ^{n}=x\sum_{n=1}^{ \infty } n^{p-1}nx ^{n-1}=x\sum_{n=1}^{ \infty } n^{p-1}\left(x ^{n}\right)'=x\sum_{n=1}^{ \infty } \left( n^{p-1}x ^{n}\right)'=x\left(\sum_{n=1}^{ \infty } n^{p-1}x ^{n}\right)'=\\=x\left(x\left(\sum_{n=1}^{ \infty } n^{p-2}x ^{n}\right)'\right)'=...}\)

po powtórzeniu tego kroku \(\displaystyle{ p}\) razy ostatecznie dostaniemy sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }x ^{n}=\frac{x}{1-x}}\) i teraz \(\displaystyle{ p}\) razy różniczkujemy i mnożymy przez \(\displaystyle{ x}\):

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^{p}x ^{n}=x\left(...\,x\left( x\left( \frac{x}{1-x}\right)'\right)'...\right)'}\)

Jak wyznaczyć tą końcową postać?

W bardziej zwartej postaci:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{+\infty} k^n x^k = \frac{\sum_{m=0}^n A(n,m) x^{m+1}}{(1-x)^{n+1}}}\)

... Identities

Dziękuję

A jak pokazać, że można przejść do tej postaci bardziej zwartej?

Przez indukcję.

Mogłabym prosić o mniej więcej rozpisanie tego, albo odesłanie do jakieś książki?