Matematyka.pl

Regulamin zezwala na odprawienie bagażu prostopadłościennego o łącznej długości jego trzech wymiarów do ustalonej wartość (np. 160 cm). Czy da się "oszukać" celników wstawiając przekraczający dany limit sumy długości bagaż prostopadłościenny do innego bagażu spełniającego kryteria?

Nie można.

Lemat: W świecie 2D nie można oszukać celników.

Niech \(\displaystyle{ BDHF(BH=a, HF=b)}\) będzie prostokątem, który chcemy umieścić wewnątrz prostokąta, którego krawędzie są równoległe do osi \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OY}\). Niech \(\displaystyle{ 0 \le \epsilon \le \frac{\pi}{4}}\) będzie kątem między jedną z osi symetrii \(\displaystyle{ BDFH}\) a jedną z osi układu współrzędnych. No i jeszcze środek BDFH pokrywa się z początkiem UW. Wtedy przez trójkąty ABH, BCD, DEF i FGH nie mogą przechodzić krawdędzie dużego prostokąta. A więc na pewno jego obwód jest równy co najmniej
\(\displaystyle{ AC + CE + EG + GA=2( AB + BC + CD + DE)=2(asin\epsilon+bcos\epsilon+asin\epsilon+bsin\epsilon)=2(a+b)(sin\epsilon + cos\epsilon)>2(a+b)}\).

Teraz przeniesiemy to na trzeci wymiar. Jeśli para ścian prostopadłościanu wewnętrznego leży na parze ścian zewntętrznego to na mocy lematu teza jest oczywista. W przeciwnym wypadku, jeśli wyobraźnia mnie nie zawodzi, istnieje taki prostopadłościan, którego 2 ściany leżą na ścianach zewnętrznego, który ma obwód większy od rozpatrywanego, który z kolei ma mniejszy od zewnętrznego.

Też wymyśliłem dowód dla 2D (a dokładniej mówiąc, to przypomniałem go sobie, bo był w Delcie), który działa dla dowolnej figury wypukłej umieszczonej wewnątrz innej figury wypukłej. Po kolei odcinamy kawałki większego prostokąta według prostych zawierających boki mniejszego wielokąta i korzystamy z nierówności trójkąta. Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić w 3D, ale niestety dla pól, a nie dla obwodu. A z Twojego rozumowania dla 3D raczej nic nie wynika. Raczej schylałbym się do dowodu, że tak się nie da, aczkolwiek nie wykluczałbym na 100%, że przypadkiem taki może istnieje.

Poprawną odpowiedzią jest, że nie da się oszukać celników. Łatwo się to pokazuje w układzie współrzędnych korzystając z nierówności \(\displaystyle{ \sqrt[]{x^2+y^2+z^2}\le \left| x\right| +\left| y\right| +\left| z\right|}\).