izomorficzny obraz bazy
: 5 mar 2012, o 19:26
Jak udowodnić, że izomorficzny obraz bazy danej przestrzeni jest bazą?
To wyjdzie z samej definicji izomorfizmu. I liniowa niezależność, i rozpinanie. Naprawdę. Np.
\(\displaystyle{ a_1h(u_1)+\dots+a_nh(u_n)=0\implies h(a_1u_1+\dots+a_nu_n)=0}\)
Z różnowartościowości wnosimy, że \(\displaystyle{ a_1u_1+\dots+a_nu_n=0}\) i dalej korzystamy z liniowej niezależności wektorów \(\displaystyle{ u_1,\dots,u_n.}\) W ten sposób pokazujemy, że każdy skończony układ obrazów wektorów bazowych jest liniowo niezależny, więc układ wszystkich tych obrazów jest liniowo niezależny. Dowód rozpinania oprzesz na surjektywności.