Matematyka.pl

Czy istnieje figura(zbiór):
a) skończona( której promień jest skończony) o więcej niż 1 środku symetrii
b) nieskończona o n środkach symetrii, gdzie n>1
c)czy w innej niż euklidesowej metryce jest to możliwy któryś z powyższych przypadków.

b) prosta

prosta ma nieskończenie wiele. Przepraszam być może nieprecyzyjnie zadałem pytanie. Chodzi mi o skończenie wiele

Promień, czyli połowa średnicy w topologicznym sense?

a) Załóżmy nie wprost, że istnieją dwa środki symetrii \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ O'}\). Poprowadźmy prostą \(\displaystyle{ OO'}\). Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie częścią wspólną naszej figury i tej prostej. Oczywiście do zbioru \(\displaystyle{ S}\) należą odbicia \(\displaystyle{ O}\) względem \(\displaystyle{ O'}\) zwane \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ O'}\) względem \(\displaystyle{ O}\) zwane \(\displaystyle{ Q}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ S}\) zawiera również punkty różne od \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ O'}\). Niech \(\displaystyle{ AB}\) będzie najdłuższym z odcinków o końcach w \(\displaystyle{ S}\). Oczywiście \(\displaystyle{ AB\neq OO'}\), bo choćby \(\displaystyle{ \left| PQ\right| >\left| AB\right|}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ \left| AO\right| >\left| BO\right|}\), wówczas gdy \(\displaystyle{ A'}\) będzie odbiciem \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ O}\) które oczywiście również należy do \(\displaystyle{ S}\), zajdzie \(\displaystyle{ \left| AA'\right| >\left| AB\right|}\) wbrew określeniu odcinka \(\displaystyle{ AB}\). A zatem \(\displaystyle{ \left| AO\right| =\left| BO\right|}\). Analogicznie \(\displaystyle{ \left| AO'\right| =\left| BO'\right|}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ O=O'}\).

b) odbicie środka symetrii względem środka symetrii jest środkiem symetrii, więc jeśli istnieją dwa środki symetrii, to istnieje ich nieskończenie wiele

@up
Raz, że przydałby się dowód, że tak jest, a dwa, że co z tego, że jest ich nieskończenie wiele?

to z tego, że nie może ich być dokładnie \(\displaystyle{ n}\) gdzie \(\displaystyle{ n>1}\) jest liczbą naturalną, a właśnie o to pyta ten podpunkt

Co do podpunktu c, to jeśli weźmiemy sferę, i założymy środki symetrii leżące na naprzeciw końcach sfery, to odbicie jednego środka symetrii, wobec drugiego, będzie leżało w tym samym miejscu, co przed odbiciem. Więc podobnie do podpunktu a możemy udowodnić, że te środki wzajemnie się nie wykluczają. Następnie załóżmy też, że na jednym z tych środków znajduje się środek koła Łatwo zobaczyć, że ta figura (koło), ma dwa punkty symetrii, które przed chwilą opisałem

G5imm9ow, nie rozumiem o co Ci chodzi w Twoim przykładzie

w ogóle nie rozumiem o co chodzi w podpunkcie c), bo niby jaki związek ma metryka z definicją środka symetrii figury? Moim zdaniem nie ma żadnego. Napisz swoją definicję figury środkowosymetrycznej, to wszystko się rozjaśni

Moją definicją figury środkowosymetrycznej jest figura, która posiada środek symetrii , czyli po przekształceniu nie zmienia się. Jak rozpatrzysz mój przykład na przestrzeni sferycznej, zobaczysz o co chodzi...

Wciąż nie rozumiem. Po jakim przekształceniu? Zgaduję, że chodzi o symetrię względem punktu. Jak wobec tego definiujesz symetrię względem punktu w dowolnej przestrzeni metrycznej?

Nie wiem, co to jest przestrzeń sferyczna. Jeśli chodzi o zwykłą sferę znaną ze szkoły, to z jaką metryką ją rozpatrujesz i co rozumiesz przez "odbicie względem punktu"?

Może niech autor tematu wyjaśni o co mu dokładnie chodzi.

Nie wiem czy to jest poprawnie zdefiniowane matematycznie, ale chodziło że symetria \(\displaystyle{ f[ ex] względem punktu \(\displaystyle{ O}\) w dowolnej przestrzeni metrycznej jako odwzorowanie takie
\(\displaystyle{ f_O(x)=y \Leftrightarrow \begin{cases} d(x,O)=d(y,O) \\ d(x,y)=\sup_a d(x,a) \end{cases}}\)}\)

w niektórych przestrzeniach metrycznych ten wzór nie definiuje dobrze określonej funkcji, np. w przestrzeni dyskretnej \(\displaystyle{ (\mathbb R, d)}\) gdzie \(\displaystyle{ d(x,y) = \begin{cases} 0 \text{ dla } x = y \\ 1 \text{ dla } x \neq y \end{cases}}\)

a) czy \(\displaystyle{ AB}\) musi istnieć ?

przydałby się dowód, że tak jest,

c)tu chyba można uściślić...

Jak definiujesz symetrię ?