Matematyka.pl

Wyznacz przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f: R: \rightarrow R}\) danej wzorem


\(\displaystyle{ f(x) = xe ^{ \frac{1}{x-1} }}\)

Proszę obliczyć pochodną i skorzystać z jej własności. Proszę przedstawić swoje obliczenia.

\(\displaystyle{ f(x) = xe ^{ \frac{1}{x-1} } = x \cdot (e ^{ \frac{1}{x-1} })' = x \cdot e ^{ \frac{1}{x-1} } \cdot ( \frac{1}{x-1} )' = x \cdot e ^{ \frac{1}{x-1} } \cdot \frac{1}{(x-1) ^{2} } \cdot 1}\)


tak?

Nie bardzo.

Iloczynu pochodnych (\(\displaystyle{ (u \cdot v)'=u' \cdot v + u \cdot v'}\)), a więc

\(\displaystyle{ f '(x) = (x)' \cdot e ^{ \frac{1}{x-1}} + x \cdot (e ^{ \frac{1}{x-1} })'}\).

Można zauważyć, że
\(\displaystyle{ e ^{ \frac{1}{x-1} }= e^{-(x-1)}}\)
tak chyba łatwiej jest liczyć,

oraz warto pamiętać, iż
\(\displaystyle{ e^x=e^x}\).

Teraz policz pochodną

mizera03 pisze: Można zauważyć, że
\(\displaystyle{ e ^{ \frac{1}{x-1} }= e^{-(x-1)}}\)
tak chyba łatwiej jest liczyć,

oj mizera Tobie też nie bardzo wyszło podpowiadanie

mizera03 pisze: oraz warto pamiętać, iż
\(\displaystyle{ e^x=e^x}\).

A o co Tobie tu chodziło tego nikt nie wie

jej, sorki;p

temu pewnie tak wyszło, że siedzę w pracy i robię kilkanaście rzeczy na raz.

tam miało być
\(\displaystyle{ (e^x)'=e^x}\)
i
\(\displaystyle{ e ^{ \frac{1}{x-1} }= e^{((x-1)^{-1})}}\)
jeszce raz przepraszam, za zamieszanie

\(\displaystyle{ f '(x) = (x)' \cdot e ^{ \frac{1}{x-1}} + x \cdot (e ^{ \frac{1}{x-1} })' =
1 \cdot e^{-(x-1)} + x \cdot (e^{-(x-1)})' = e^{-(x-1)} + e ^{x} \cdot (x+1)' = e^{-(x-1)} xe ^{x} \cdot 1}\)


i jak? Teraz dobrze?

jej;/ wybacz mi to zamieszanie. widzę, że się sugerowałaś moimi "bzdurami". Masz nadal źle;p

-- 5 marca 2012, 12:38 --

Na początku prawie dobrze liczyłaś.
Zapomniałaś tylko o początku: \(\displaystyle{ x' \cdot e ^{ \frac{1}{x-1}}}\) i 'minusie gdzieś tam.

powinno być
\(\displaystyle{ f '(x) = e ^{ \frac{1}{x-1}} - x \cdot e ^{ \frac{1}{x-1} } \cdot \frac{1}{(x-1) ^{2} }}\)

tak przynajmniej dla mnie wyszło, ale jak zauważyłaś robię głupie błędy;p

dalej już powinnaś se poradzić - z monotonicznością itd.
Jeszcze raz przepraszam.