Matematyka.pl

Witam, mam do rozwiązania może i trywialny przykład, ale czegoś mi brakuje i utknąłem. Mianowicie:

\(\displaystyle{ t(y+1)y'=y,\ y(e)=1}\)

Rozdzielając zmienne i całkując otrzymuję następującą zależność:

\(\displaystyle{ y+\ln y=\ln t+C}\)

Teraz wypadałoby wyliczyć stałą korzystając z warunku początkowego, jednak nie jestem pewien, czy mogę w tym wypadku podstawić bezpośrednio za \(\displaystyle{ y}\) wartość wynikającą z warunku początkowego:

\(\displaystyle{ 1+\ln 1=\ln e+C \\ C=0\\ y+\ln y=\ln t}\)

Dokładnie tak należy zrobić. Wychodzi \(\displaystyle{ C=0}\).

I jedna wskazówka na przyszłość: jeżeli całkujesz coś i wychodzi ci na przykład:
\(\displaystyle{ ...= \ln t + C}\)
to lepiej sobie zastąp:
\(\displaystyle{ ...= \ln t + \ln C_{1}}\) gdzie \(\displaystyle{ C_{1}=e^C}\).
i wtedy masz łatwiejszą postać:
\(\displaystyle{ ...= \ln C_{1}t}\).
Łatwiejszą, bo jeżeli z lewej strony też masz logarytm naturalny to łatwiej ci porównać i możesz bardzo często odwikłać funkcję (nie w tym przypadku niestety - albo nie widzę).