Matematyka.pl

Ostatnio poznałem to zadanie i bardzo mi się spodobało
Niech liczby \(\displaystyle{ a, b, c \mathbb{N}_{+}}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ 12|ab}\) oraz \(\displaystyle{ 5|abc}\).

\(\displaystyle{ 1^o}\)
Jeśliby a i b były niepodzielne przez 3, to:
\(\displaystyle{ a^2\equiv b^2 \equiv 1\ (mod\ 3)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ c^2\equiv 2\ (mod\ 3)}\) sprzeczność.
Czyli jedna \(\displaystyle{ 3|a\cup 3|b}\)
Zatem \(\displaystyle{ 3|ab}\)

Nad resztą zastanowię się potem.

wystarczy rozpatrzec rozwiazanie ogolne tego rownania, wtedy

\(\displaystyle{ a=(n^{2}-m^{2})}\)
\(\displaystyle{ b=2nm}\)
\(\displaystyle{ c=(n^{2}+m^{2})}\)

gdzie m i n sa dowolnymi liczbami naturalnymi, n>m
zauwazamy ze 2|b
jesli obie sa nieparzyste to 2|a
jesli ktoras jest parzysta to 4|b
czyli 4|ab

gdzies widzialem zastosowanie tych wlasnosci w rozwiazaniu zadania z om, ale tam bylo ze jedna z liczb jest podzielna przez 4, a tutaj ze iloczyn, wiec latwiej.

Reszty z dzielenia kwadratów liczb naturalnych przez 5 mogą wynosić 0, 1 lub -1. Niech żadna z liczb a, b, c nie będzie podzielna przez 5. Wtedy może być:
1) \(\displaystyle{ a^2 \equiv 1(mod5)}\) oraz \(\displaystyle{ b^2 \equiv 1(mod5)}\), a wtedy \(\displaystyle{ c^2 \equiv 2(mod5)}\) sprzeczność
2) \(\displaystyle{ a^2 \equiv -1(mod5)}\) oraz \(\displaystyle{ b^2 \equiv -1(mod5)}\), a wtedy \(\displaystyle{ c^2 \equiv -2(mod5)}\) sprzeczność
3) \(\displaystyle{ a^2 \equiv 1(mod5)}\) oraz \(\displaystyle{ b^2 \equiv -1(mod5)}\) (lub odwrotnie), a wtedy \(\displaystyle{ c^2 \equiv 0(mod5)}\)sprzeczność

Czyli nie może być, że 5 nie dzieli wszystkich liczb a, b i c, więc dzieli co najmniej jedną z nich, czyli 5|abc.

qsiarz - to jest zadanie z OM
Tylko ja rzeczywiście zmieniłem lekko treść, ponieważ w pierwszej części tamtego zadania należało wykazać, że \(\displaystyle{ 3|a 3|b}\) oraz \(\displaystyle{ 4|a b}\).

Z którego roku jest to zadanie?

Zadanie jest z 22. OM, dokładnie czwarte zadania z zawodów trzeciego stopnia.

Kiedyś było prościej. Teraz takiego by nie dali nawet na pierwsze zadanie z II etapu

kwadrat dowolnej liczby naturalnej przy dzieleniu przez 5 może dawać następujące reszty: 1, 4 lub 0. Podobna analiza jak Kasi pokazuje, że przynajmniej jedna (lub wszystkie trzy) z liczb a, b, c musi być podzielna przez 5.