Matematyka.pl

Witajcie!

Mam problem z zabraniem się za dwa zadania. Nie prosiłbym o rozwiązanie tylko jakieś istotne wskazówki lub pokazanie 'pierwszego' kroku który pomógłby mi nabrać intuicji jak robić takie zadania Bo niestety nie mam pojęcia jak wogóle zacząć to zadanie.

1) Obliczyć przechodząc do współrzędnych biegunowych \(\displaystyle{ \int \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}\) na sferze \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + (z-1/2)^{2} = 1/4}\)

W tym zadaniu w ogóle nie widzę jaki ma sens przechodzenie do współrzędnych biegunowych (w tym wypadku jak wymiar jest 3 to sferycznych?) Starałem się analizowac to zadanie i jedyne do czego doszedłem to niestety prosty wniosek że ta funkcja podcałkowa jest postaci \(\displaystyle{ f(x,y,z) = \sqrt{z}}\) dla każdego punktu należącego do tej sfery ale nie wiem jakie to ma odniesienie dla przedziałów całkowania. Chciałbym zobaczyć jak w ogóle w takim zadaniu okresla się granice całkowania bo to dla mnie niejasne.

2) Obliczyć pole obszaru ograniczonego przez krzywą \(\displaystyle{ (x^{2} + y^{2})^{2} = 2(x^{3} - 3xy^{2})}\) - w tym zadaniu to w ogóle nie wiem jak wykonać pierwszy krok, znaczy w prostszych zadaniach to wiem że trzeba było jakoś naszkicować ta powierzchnię jak ona mniej więcej wygląda i wyznaczyć granice całkowania ale w tym zadaniu próby takiego sprowadzenia tego do postaci kilku wykresów funkcji spełzły na niczym.

pozdrawiam i z góry dziękuję za wskazówki

1. jakiego rodzaju jest ta całka?
2. przejdź na współrzędne biegunowe

2. Przechodząc do współrzędnych biegunowych otrzymuję \(\displaystyle{ r^{4} = 2r^{3} cos(3x)}\) ... Co mam z tym dalej zrobić? Wcześniej myślałem nad przedziałami x, y doszedłem że \(\displaystyle{ x \in [- \frac{9}{8} , 2]}\) a \(\displaystyle{ y \in [-1,1]}\) ale nie wiem czy to są szukane przedziały całkowania. Czy tak jest i je trzeba przekształcić w biegunowych? Domyslam się że tutaj pewnie chodzi o policzenie całki jednej (?) zmiennej \(\displaystyle{ r = 2cos(3x)}\) ale nie wiem jak ustalić przedziały całkowania.

1. To jest całka Lebesgue'a na sferze (tj zbiorze V opisanym równaniem tej sfery) Znaczy się
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\)