Matematyka.pl

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^{3} - 2x ^{2} - 13x + 26= 0}\)

W tym akurat przykładzie ładnie widać, że z dwóch pierwszych elementów można wyłączyć \(\displaystyle{ (x-2)}\), tak samo jak z dwóch końcowych. Mamy więc\(\displaystyle{ x^2(x-2)-13(x-2)}\), a to się przekształca na iloczyn dwóch nawiasów, z których odczytuje się odpowiedź.

Podstawiając

\(\displaystyle{ y=x-\frac{2}{3}}\) otrzymujemy następującą postać równania:

\(\displaystyle{ y^3 - \frac{43}{3}y + \frac{452}{27} = 0}\)

Korzystając z tożsamości:

\(\displaystyle{ (p+q)^3 - 3pq(p+q) - (p^3 + q^3) = 0}\)

i podstawiając \(\displaystyle{ a=p+q}\) otrzymamy, że:

\(\displaystyle{ a^3 - 3apq - (p^3 + q^3) = 0}\)

Jeśli więc dobierzemy tak \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\), że

\(\displaystyle{ \begin{cases} -3pq=-\frac{43}{3} \\ p^3 + q^3 = -\frac{452}{27} \end{cases}}\)

to z równości wielomianów \(\displaystyle{ a}\) będzie pierwiastkiem równania:

\(\displaystyle{ y^3 - \frac{43}{3}y + \frac{452}{27} = 0}\)

Upraszczając układ dostajemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} pq=\frac{43}{9} \\ p^3 + q^3 = -\frac{452}{27} \end{cases}}\)

Łatwo, stosując metodę podstawiania, a potem rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymać:

\(\displaystyle{ p=\frac{1}{3}\left( -2 - i\sqrt{39}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ q= \frac{1}{3}\left( -2 + i\sqrt{39}\right)}\). Jest to jedno z rozwiązań. Jest ich jednak więcej, ale nam wystarczy tylko to.

Wobec tego \(\displaystyle{ a=p+q = \frac{1}{3}\left( 2 - i\sqrt{39}\right)+\frac{1}{3}\left( 2 + i\sqrt{39}\right) = \frac{4}{3}}\).

Czyli jednym z pierwiastków początkowego równania jest \(\displaystyle{ x=a + \frac{2}{3} = 2}\). Teraz wystarczy już rozłożyć z Hornera wielomian.