Matematyka.pl

Witam!
Mam problem z takim zadaniem.

Udowodnić że n zespolonych pierwiastków n tego stopnia z jedności tworzy grupę abelową ze względu na mnożenie liczb zespolonych

Wskazówka ze wzoru Moivre'a wynika że pierwiastki n-tego stopnia z jedności są równe

\(\displaystyle{ e _{k}=\cos \frac{2k\pi}{n}+i\sin \frac{2k\pi}{n}=e ^{\frac{2k\pi}{n}}}\)
\(\displaystyle{ k= 0,1,...,n-1,}\)

Nie wiem czy dobrze rozumiem ale... wystarczy napisać że
np.
\(\displaystyle{ e _{n-1} \cdot e _{n-2}=e _{n-2} \cdot e _{n-1}}\)
Obliczyć osobno lewą i osobno prawą strobnę porównać czy wyjdzie to samo i już ??

O wiele prościej skorzystać z tego, że liczby zespolone z mnożeniem tworzą grupą abelową, a pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki to podzbiór tej grupy. A żeby podzbiór był podgrupą (czyli też grupą) wystarczy, żeby był zamknięty z uwagi na działanie grupowe i branie elementu odwrotnego.

To zaś sprawdza się w tym wypadku natychmiastowo, bo jeśli \(\displaystyle{ x^n=1, y^n=1}\), to także \(\displaystyle{ (xy)^n=1}\) oraz \(\displaystyle{ (x^{-1})^n=1}\).

Q.

Nie wiem czy dobrze rozumiem ale... wystarczy napisać że
np.

Obliczyć osobno lewą i osobno prawą strobnę porównać czy wyjdzie to samo i już ??

musisz tu sprawdzic czy dzialanie jest laczne, wyznaczyc element neutralny i odwrotny do danego