Matematyka.pl

Od jakiegos czasu licze całki do poprawki egza, ktory zbliza sie nieustannie i nie moge dosjc do jednej rzeczy. Mam przyklad z książki rozwiązany, ale nie moge dojść do tego, skąd to się bierze?!?! Nie będę przepisywał całości żeby nie zanudzać, tylko przejde do konkretu, któego nie mogę skumać. Mianowicie po skorzystaniu z całkowania przez części mam coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} x^3 arctg x - \frac{1}{3} t x^3 \frac{1}{1+x^2} dx}\)
No i spoko, ale teraz dalej jest:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} x^3 arctg x - (\frac{1}{3} t x dx - \frac{1}{3} t \frac{xdx}{1+x^2})}\)
Pytanie brzmi: Jak z tego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} t x^3 \frac{1}{1+x^2} dx}\)
zrobiło się to:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{3} t x dx - \frac{1}{3} t \frac{xdx}{1+x^2})}\)
Jeśli czyjś umysł jest w stanie temu podołać - nie tak jak moj :/ - to bardzo prosze o wytłumacznie. Tylko prosze nie odp. w stylu google.pl
Tak łądnie idzie programowanie i wylece przez glupie całki :(

\(\displaystyle{ x - \frac{x}{1+x^2} = \frac{x(1+x^2)}{1+x^2} - \frac{x}{1+x^2} = \frac{x+x^3-x}{1+x^2} = \frac{x^3}{1+x^2}}\)
Teraz wystarczy w drugą stronę to przeczytać

dzieki nie pomyslalem o tym +x - x

BTW. Zamiast zastanawiać się jak ten ułamek rozłożyć, można podstawić:
\(\displaystyle{ t = 1+x^2 \\
t{\frac{x^3dx}{1+x^2}} = \frac{1}{2} t{\frac{t-1}{t}dt} = \frac{1}{2} t{\left( 1 - \frac{1}{t} \right) dt} = \ldots}\)