Matematyka.pl

Udowodnij, że dla każdego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha -\cos 2 \alpha < \frac{(\tg \alpha +1) ^{2} }{\tg ^{2} \alpha +1 }}\)

Na przykład tak:

\(\displaystyle{ 2\sin x \cos x +\sin ^2 x - \cos ^2x=\cos ^2 x(2\tg x +\tg ^2x +1)-2\cos ^2 x =}\)
\(\displaystyle{ =\cos ^2 x(\tg x + 1)^2 -2\cos ^2x<\frac{(\tg x + 1)^2}{\tg ^2x+1}}\)
Wszystko na lewo i:

\(\displaystyle{ (\tg x+1)^2\left ( \frac{\cos ^2x(\tg ^2x+1)-1}{\tg ^2x +1}\right ) -2\cos ^2x <0}\)

Zauważ, że licznik ułamka jest równy zero więc zostaje nam tylko człon:

\(\displaystyle{ -2\cos ^2x}\)

Który jest zawsze mniejszy od zera, CKD.

Łatwo jest zacząć od prawej strony (trzeba zauważyć, że ze względu na warunek \(\displaystyle{ \cos\alpha\ne 0}\) nie może zachodzić równość \(\displaystyle{ \cos 2\alpha=-1}\)):

\(\displaystyle{ \frac{(\tg \alpha +1) ^{2} }{\tg ^{2} \alpha +1 }=\frac{\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1\right)^2}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+1}=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin 2\alpha+1>\sin 2\alpha-\cos 2\alpha}\).