Matematyka.pl

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ a \in R}\) dla każdego \(\displaystyle{ b \in R}\) istnieje takie \(\displaystyle{ c \in R}\), że układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x+by=ac ^{2} +c\\ bx+2y=c-1\end{cases}}\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie?

Mi to pachnie metodą wyznacznikową. I od razu widać, że warunek dla każdego b nie będzie spełniony tak aby wyszedł na układ oznaczony (jedno rozwiązanie).
Sprawdź treśc zadania jeszcze raz, albo kolejność kwantyfikatorów w treści zadania.

Układ ten nie musi być oznaczony aby spełnione były warunki zadania, ale dla dowolnego \(\displaystyle{ b \in \mathbb{R}}\) nieoznaczony też nie będzie.

Nie rozumiesz. Skoro ma mieć JEDNO rozwiązanie to musi być układem OZNACZONYM. Aby tak się stało to \(\displaystyle{ W \neq 0}\)

\(\displaystyle{ W = \left|\begin{array}{cc}1&b\\b&2\end{array}\right| = 2-b^2}\)
Dla \(\displaystyle{ b= \pm \sqrt{2}}\) wyznacznik jest równy zero \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) układ nie jest oznaczony \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) układ nie ma jednego rozwiązania

Obstawiam że przy którymś współczynniku z lewej strony równań jest znak przeciwny.

-- 25 lut 2012, o 16:19 --

Najmocniej przepraszam. Teraz doczytałem słowo przynajmniej

-- 25 lut 2012, o 16:30 --

Wobec tego
1) dla b innych niż \(\displaystyle{ \pm \sqrt{2}}\) wygląda to tak:
\(\displaystyle{ W \neq 0}\)

\(\displaystyle{ W_x = \left|\begin{array}{cc}ac ^{2} +c&b\\c-1&2\end{array}\right| = 2(ac ^{2} +c)-b(c-1)}\)

analogicznie \(\displaystyle{ W_y}\)

Z postaci tych wyznaczników wnioskujemy że wobec braku mianowników, pierwiastków, logarytmów, etc. to dla każdego a zawsze sobie dobierzemy jakieś c, bo nie jesteśmy niczym ograniczeni.

Podejrzewam że autorowi zadania w głównej mierze chodziło konkretnie o to by rozpatrzeć przypadki dla \(\displaystyle{ b_1=\sqrt{2}}\) oraz dla \(\displaystyle{ b_2=-\sqrt{2}}\)

Dla owych \(\displaystyle{ b}\) układ MUSI byc nieoznaczony. Wobec tego:
2) \(\displaystyle{ b=\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+\sqrt{2}y=ac ^{2} +c\\ \sqrt{2}x+2y=c-1\end{cases}}\)
dolną linie dzielę przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i otrzymuję:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+\sqrt{2}y=ac ^{2} +c\\ x+ \sqrt{2}y= \frac{c-1}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)
Aby był to układ nieoznaczony to prawe strony muszą być sobie równe-- 25 lut 2012, o 16:36 --Zamiast "podgląd" wcisnąłem "wyślij"

\(\displaystyle{ ac ^{2} +c = \frac{c-1}{\sqrt{2}}}\)
Wyznaczamy z tego c ze względu na a i odpowiadasz na pytanie dla jakich a istnieje c.

3) Dla \(\displaystyle{ b=- \sqrt{2}}\) postępujesz analogicznie