Matematyka.pl

Znaleźć wszystkie rozwiązania równania : \(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{z}+ \frac{z}{t} + \frac{t}{x} =4}\) w liczbach naturalnych x,y,z,t.

Sądzę, że ostatni ułamek powinien być postaci \(\displaystyle{ \frac{t}{x}.}\) Równanie powinno mieć więc brzmienie:

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{t}+\frac{t}{x}=4.}\)

Nieprawdaż? Oczywiście i w przedstawionej postaci równanie posiada rozwiązanie: np. same jedynki.

W podanej postaci też da się je rozwiązać.
Warunek konieczny na istnienie naturalnych rozwiązań : \(\displaystyle{ \begin{cases} z \ge t \\ t \ge z \end{cases}}\) Stąd \(\displaystyle{ z=t}\).
Pozwala nam to na zapisanie równania jako \(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{z}=2}\) i równoważnie \(\displaystyle{ xz+y^2=2yz \hspace{6}(\star)}\)
Warunek konieczny podzielności zastosowany dla dwóch pierwszych składników daje \(\displaystyle{ x \ge y \ge z}\). Weźmy pierwszą i pomnóżmy ją stronami przez \(\displaystyle{ z}\) i dodajmy stronami \(\displaystyle{ y^2}\) Dostajemy \(\displaystyle{ xz+y^2 \ge yz+y^2}\) co wobec \(\displaystyle{ (\star)}\) daje \(\displaystyle{ 2yz \ge yz+y^2}\) skąd wobec nieujemności tych liczb mamy \(\displaystyle{ z \ge y}\), co z drugą z nierówności wynikających z warunku koniecznego daje nam \(\displaystyle{ z=y}\). Wstawiając to do wyjściowego równania dostajemy \(\displaystyle{ \frac{x}{y} =1}\). Skąd od razu mamy \(\displaystyle{ x=y}\), co wobec poprzednich rozważań daje nam wszystkie naturalne rozwiązania postaci \(\displaystyle{ x=y=z=t}\)

o tak sorki pomyłka

ares41 pisze:Warunek konieczny na istnienie naturalnych rozwiązań : \(\displaystyle{ \begin{cases} z \ge t \\ t \ge z \end{cases}}\) Stąd \(\displaystyle{ z=t}\).

Nieprawda. Sprawdź \(\displaystyle{ (x,y,z,t) = (1,3,2,3)}\) (oczywiście dla wyrażenia przed zmianą, tj \(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{t}+\frac{t}{z}}\))

To co piszesz w ogóle jest nieprawdą, przecież żeby suma paru liczb była liczbą naturalną nie wszystkie muszą być liczbami naturalnymi, np \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{3}{2} = 2}\)

Vax, racja, rozpędziłem się.

Stosując nierówność między średnimi dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{z}+ \frac{z}{t} + \frac{t}{x} \ge \sqrt[4]{\frac{x}{y} \frac{y}{z}\frac{z}{t} \frac{t}{x}} = 4}\).

Równość w tej nierówności zachodzi tylko wtedy, gdy liczby w naborze są równe, więc:

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{t} = \frac{t}{x}}\)

A stąd łatwo wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x=y=z=t}\).