Matematyka.pl

"Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b \in (0, 1)}\), to \(\displaystyle{ \log_{a}b+\log_{b}a \ge 2}\)"

Czy jeżeli doszedłem do postaci \(\displaystyle{ \log_{a}b+ \frac{1}{\log_{a}b}}\), to można już udowodnić, że jest to zawsze większe, lub równe zero, czy jeszcze trzeba cos z tym zrobić? (i co)

\(\displaystyle{ \frac{1}{log_{1}b}}\)?
Podstawa logarytmu \(\displaystyle{ =1}\)?

Ups. Teraz jest dobrze. Co z tym mogę dalej zrobić?

Podstawiam zamiast logarytmu (k)
\(\displaystyle{ (k-1)^2\geq 0}\)

\(\displaystyle{ k^2-2k+1\geq 0|:k}\) (k jest dodatnie)

\(\displaystyle{ \log_{a}b+\log_{b}a \ge 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{\log b}{\log a}+ \frac{\log a}{\log b} \ge 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{\log^2 b +\log^2 a}{\log a\log b} \ge 2}\)

ponieważ \(\displaystyle{ a,b \in (0, 1)}\), więc \(\displaystyle{ \log a\log b>0}\)

\(\displaystyle{ \log^2 b +\log^2 a \ge 2 \log a\log b}\)

na lewo i wzór skróconego mnożenia

Ale wyszłaś od tego co masz udowodnić - więc trzeba to wpisać ,,od końca".

Można to też chyba zrobić z nierówności średnich, a nie widziałem nigdzie takiego rozwiązania.

\(\displaystyle{ \log_a{b} + \log_b{a} = \log_a{b} + \frac{1}{\log_a{b}} }\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ a,b \in (0,1)}\), więc \(\displaystyle{ \log_a{b}>0}\) i \(\displaystyle{ \log_b{a}>0. }\)

Z nierówności średnich mamy:

\(\displaystyle{ \frac{\log_a{b} + \frac{1}{\log_a{b}} }{2} \ge \sqrt{\log_a{b} \cdot \frac{1}{\log_a{b}} }}\)

\(\displaystyle{ \log_a{b} + \frac{1}{\log_a{b}} \ge 2}\)

Więc skoro
\(\displaystyle{ \log_a{b} + \log_b{a} = \log_a{b} + \frac{1}{log_a{b}} \ge 2}\), to
\(\displaystyle{ \log_a{b} + \log_b{a} \ge 2}\) c. n. u.

VanHezz pisze: 24 paź 2021, o 09:25 Można to też chyba zrobić z nierówności średnich, a nie widziałem nigdzie takiego rozwiązania.

No cóż, może niewystarczająco uważnie szukałeś...

Nierówność \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}\ge 2}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) jest bardzo znana, podobnie jak jej rozliczne dowody, również ten z użyciem średnich.

JK

Jan Kraszewski pisze: 24 paź 2021, o 12:16
Nierówność \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}\ge 2}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) jest bardzo znana, podobnie jak jej rozliczne dowody, również ten z użyciem średnich.

Tak, toteż dziwię się, że nie znalazłem w sieci rozwiązania tego konkretnego zadania z użyciem tej nierówności - a to właśnie miałem na myśli.

Zastanawiam się natomiast nad innym rozwiązaniem:

Z założenia \(\displaystyle{ \log_a{b} >0}\) i \(\displaystyle{ \log_b{a}>0}\)

Przekształcając równoważnie nierówność, mamy tak:

\(\displaystyle{ \log_a{b}+\log_b{a} \ge 2}\)
\(\displaystyle{ \log_a{b}+ \frac{1}{\log_a{b}} -2 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \log_a^{2}b -2\log_a{b}+1}{\log_a{b}} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ (\log_a{b}-1)^{2} }{\log_a{b}} \ge 0}\)

I teraz korzystając z założenia, że \(\displaystyle{ \log_a{b}>0}\) można stwierdzić, że otrzymana nierówność jest prawdziwa. A skoro przekształcałem równoważnie, to wyjściowa nierówność też jest prawdziwa, c.n.u.

Chociaż z drugiej strony swego czasu napisałeś mi w innym temacie:

Jeżeli dowodzisz prawdziwość jakiejś równości, to nigdzie we wnioskowaniu nie wolno Ci użyć tej równości. Natomiast możesz pokazać, że np. lewa strona równości jest równa innemu wyrażeniu, które z kolei jest równe jeszcze innemu itd. aż dojdziesz do prawej strony. Wtedy każda kolejna równość powinna być uzasadniona (wynikać z założenia, być konsekwencją znanych tożsamości itd.).

Czym innym jest równoważne przekształcanie równości. Jeżeli istotnie przekształcisz ją równoważnie do prawdy ("prawdą" może być np. założenie albo tożsamość), to jest to poprawny dowód, ale przekształcenia muszą być naprawdę równoważne, a Ty powinieneś zaznaczyć w dowodzie, iż jesteś świadom tego, że przekształcasz równoważnie (choć na poziomie matury jeśli same przekształcenia są poprawnie równoważne, to już komentarz nie jest wymagany - a szkoda...)

I zgodnie z tym, co napisałeś w drugim akapicie, to przekształcając równoważnie, muszę dojść do prawdy, np. do założenia. A ja do założenia w tym dowodzie nie doszedłem, tylko z niego skorzystałem... więc czy ten ostatni dowód jest poprawny? Nie wnioskuję tu czasem z tezy przy pomocy założenia?

Pozdrawiam.

VanHezz pisze: 24 paź 2021, o 14:26I zgodnie z tym, co napisałeś w drugim akapicie, to przekształcając równoważnie, muszę dojść do prawdy, np. do założenia. A ja do założenia w tym dowodzie nie doszedłem, tylko z niego skorzystałem... więc czy ten ostatni dowód jest poprawny? Nie wnioskuję tu czasem z tezy przy pomocy założenia?

Jest poprawny (zgodnie z tym, co napisałem w drugim akapicie...). Za pomocą założenia pokazujesz, że teza jest równoważna prawdzie - ta równoważność jest tu kluczowa.

JK

No dobrze, brakowało mi tego w tym drugim akapicie. Myślałem, że w zadaniach na dowodzenie korzystając z przekształceń równoważnych muszę dojść do tożsamości albo do wyrażenia z tezy. Czyli rozumiem, że przekształcając równoważnie, mogę na końcu skorzystać z założenia pokazując prawdziwość otrzymanego wyrażenia, ale nie mogę skorzystać z założenia na początku lub w środku? (mówię tu o równoważnym przekształcaniu, a nie gdy biorę tylko jedną stronę danej (nie)równości). Bo dalej we wspomnianym temacie pisałem tak:

Jan Kraszewski pisze: 27 wrz 2021, o 08:49
VanHezz pisze: 27 wrz 2021, o 08:49 Pisząc, że we wnioskowaniu nie wolno mi użyć danej równości, chodzi Ci o to, że nie mogę np. na wstępie wstawić wyrażenia z tezy do wyrażenia z założenia, lub na odwrót, i przekształcać całościowo otrzymanego wyrażenia, czyli mieszać lewej strony i prawej, dochodząc do prawdy, tak?
Tak, to jest przykład niepoprawnego rozumowania.

I co w przypadku, gdy przekształcam tezę równoważnie, ale na pewnym etapie dokonam przekształcenia, które jest dozwolone tylko pod pewnym warunkiem, tym danym w założeniu (np. że zmienna jest większa od zera), i tym samym dojdę do prawdy, to czy to nie będzie "wymieszanie" tezy z założeniem i w konsekwencji zły dowód?

VanHezz pisze: 24 paź 2021, o 20:36 No dobrze, brakowało mi tego w tym drugim akapicie.

No przecież to tam jest:

Jan Kraszewski pisze: Czym innym jest równoważne przekształcanie równości. Jeżeli istotnie przekształcisz ją równoważnie do prawdy ("prawdą" może być np. założenie albo tożsamość), to jest to poprawny dowód

VanHezz pisze: 24 paź 2021, o 20:36Myślałem, że w zadaniach na dowodzenie korzystając z przekształceń równoważnych muszę dojść do tożsamości albo do wyrażenia z tezy. Czyli rozumiem, że przekształcając równoważnie, mogę na końcu skorzystać z założenia pokazując prawdziwość otrzymanego wyrażenia, ale nie mogę skorzystać z założenia na początku lub w środku? (mówię tu o równoważnym przekształcaniu, a nie gdy biorę tylko jedną stronę danej (nie)równości).

Kombinujesz. Przekształcenia równoważne to przekształcenia równoważne - pokazujesz, że dwie informacje są "równo prawdziwe", a z założenia możesz skorzystać kiedykolwiek - na początku, w środku albo na końcu. Oznacza to, że są "równo prawdziwe" przy tym założeniu.

VanHezz pisze: 24 paź 2021, o 20:36Bo dalej we wspomnianym temacie pisałem tak:
Jan Kraszewski pisze: 27 wrz 2021, o 08:49
VanHezz pisze: 27 wrz 2021, o 08:49 Pisząc, że we wnioskowaniu nie wolno mi użyć danej równości, chodzi Ci o to, że nie mogę np. na wstępie wstawić wyrażenia z tezy do wyrażenia z założenia, lub na odwrót, i przekształcać całościowo otrzymanego wyrażenia, czyli mieszać lewej strony i prawej, dochodząc do prawdy, tak?
Tak, to jest przykład niepoprawnego rozumowania.
I co w przypadku, gdy przekształcam tezę równoważnie, ale na pewnym etapie dokonam przekształcenia, które jest dozwolone tylko pod pewnym warunkiem, tym danym w założeniu (np. że zmienna jest większa od zera), i tym samym dojdę do prawdy, to czy to nie będzie "wymieszanie" tezy z założeniem i w konsekwencji zły dowód?

Nie (patrz moja powyższa uwaga).

Kluczowe jest rozróżnienie "przejścia równoważnego" i "wnioskowania" i zrozumienie tej różnicy. To, czego nie wolno robić pod żadnym pozorem, to wnioskować z tezy (w jawny bądź niejawny sposób...).

JK

Więc z jednej strony mówisz, że nie moge wstawić założenia do tezy i dojść do prawdy (pomimo przekształceń równoważnych i zgodnych z założeniem),
a z drugiej strony, że mogę skorzystać z założenia kiedykolwiek podczas równoważnego przekształcania.

W takim razie nie rozumiem za bardzo tej różnicy.

VanHezz pisze: 24 paź 2021, o 21:50 Więc z jednej strony mówisz, że nie moge wstawić założenia do tezy i dojść do prawdy (pomimo przekształceń równoważnych i zgodnych z założeniem),

Nigdzie czegoś takiego nie napisałem.

JK

A tutaj?

Jan Kraszewski pisze: 27 wrz 2021, o 08:49
VanHezz pisze: 27 wrz 2021, o 08:49 Pisząc, że we wnioskowaniu nie wolno mi użyć danej równości, chodzi Ci o to, że nie mogę np. na wstępie wstawić wyrażenia z tezy do wyrażenia z założenia, lub na odwrót, i przekształcać całościowo otrzymanego wyrażenia, czyli mieszać lewej strony i prawej, dochodząc do prawdy, tak?
Tak, to jest przykład niepoprawnego rozumowania.

Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli a,b...

Wykaż, że jeżeli a,b...

Wykaż, że jeżeli a,b...

Wykaż, że jeżeli a,b...

Wykaż, że jeżeli a,b...

Wykaż, że jeżeli a,b...

Wykaż, że jeżeli a,b...

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...