Matematyka.pl

Witam,
dzisiaj na wykładzie zostało nam przedstawione zagadnienie równania liniowego. O ile prostych przykładów nie mam problemu rozwiązywać tak już dłuższy czas główkuję się nad zadaniem w które jest wplątane postać pierwotna i dualna.

Zadanie brzmi: Firma produkuje 4 wyroby - soki owocowe, kompoty, dżemy oraz wino. Do produkcji potrzebuje 2 limitowane produkty - cukier (C) i moszcz (M). Firma dysponuje 6000 jednostkami cukru i 12000 jednostkami moszczu. Technologia zakłada, że do produkcji jednostki wyrobu W1 potrzeba 1 jednostkę cukru i 4 moszczu, do wyrobu W2 3C i 1M, do wyrobu W3 1C i 1M, do wyrobu W4 1C i 5M.
Zysk firmy na jednostkę wyrobu W1 wynosi 8zł, W2-9zł, W3-6zł, w4-10zł.

Znajdź plan, który przyniesie największy zysk dla firmy.

Z mojego rozumowania zrobiłam najpierw 2 równania (zakładając, że jest to postać dualna)
\(\displaystyle{ y_{1}+3y_{2}+y_{3}+y_{4}\ge6000

4y_{1}+y_{2}+y_{3}+5y_{4}\ge12000}\)

Chciałam to potem zamienić na równanie pierwotne
\(\displaystyle{ x_{1}+4x_{2}\le8

3x_{1}+x_{2}\le9

x_{1}+x_{2}\le6

x_{1}+5x_{2}\le10}\)

Zaczęłam to rozwiązywać graficzne i wyszło mi ostatecznie rozwiązanie optymalne \(\displaystyle{ x_{1}= \frac{11}{15} x_{2}=5 \frac{1}{15}}\)

I stanęłam nagle w martwym punkcie bo przecież wiedząc teraz, że minimum to \(\displaystyle{ K=6000x _{1} +12000x _{2}}\)

ale jak obliczyć maksymalny zysk? totalnie się pogubiłam ...


Bardzo was proszę o pomoc, zależy mi aby dziś zrobić to zadanie!

Zadanie powinno być zapisane tak:

\(\displaystyle{ 8x _{1}+9x _{2}+6x _{3}+10x _{4} \rightarrow max\\ \\
x _{1}+3x _{2}+x _{3}+x _{4} \le 6000\\
4x _{1}+x _{2}+x _{3}+5x _{4} \le 12000\\
x _{1},x _{2},x _{3},x _{4} \ge 0}\)

gdzie \(\displaystyle{ x _{i}}\) to wielkość produkcji i-tego wyrobu

No tak tylko pytanie jak to dalej rozwiązać. Rozumiem dlaczego są takie znaki przy 6000 i 12000, bo produkcja tych składników musi być mniejsza od tych liczb. Max przy tym równaniu również jest dla mnie oczywisty. Pytanie tylko jak z tych 4 niewiadomych policzyć w tym momencie zysk?

Nie rozumiem kompletnie.

Do rozwiązywania tego typu zadań służy algorytm simpleks albo metoda graficzna. Rozumiem, że masz to rozwiązać graficznie, więc zbuduj zadanie dualne. Rozwiąż je graficznie. Optymalna wartość funkcji celu zadania dualnego jest też optymalną wartością funkcji celu zadania prymalnego (czyli szukanym maksymalnym zyskiem).