Matematyka.pl

Dane jest odwzorowanie liniowe

\(\displaystyle{ L : R ^{3} \rightarrow R ^{3}, L(x, y, z) = (x+2y, y-z, -y+z)}\)

Wyznacz jądro odwzorowania L oraz jego bazę.


To jest ta część zadania, której nie umiem rozwiązać. Jak wyznaczamy jądro odwzorowania i jego bazę...?

Jądro odwzorowania liniowego to przeciwobraz zera, czyli rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ L(x, y, z) = (0, 0, 0)}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+2y=0\\y-z=0\\-y+z=0\end{array}}\)
Macierz układu ma rząd 2, czyli dim Imf=2, zrównania:
\(\displaystyle{ dim R^3 = dim Ker L +dim ImL \\
dim Ker L= 3-2=1}\)
Wymiar jądra wynosi 1.
W układzie równań trzecie jest liniowo zależne od drugiego (praktycznie jest to to samo równanie pomnożone przez -1), więc go opuszczam.
x=-2y , y=z.
Rozwiązaniami układu są wszystkie wektory postaci: (-2y,y,y) , więc bazę stanowi jeden wektor:
(-2,1,1). Każdy wektor jądra otrzymamy mnożąc ten wektor przez odpowiednią stałą.
Pozdrawiam.