Matematyka.pl

1.Funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=-2x^{2} + bx +3b-5}\) przyjmuje najwieksza wartosc dla argumentu \(\displaystyle{ \frac14}\). Oblicz \(\displaystyle{ f(1-\sqrt{2} )}\)
2. Wykaż, że jeśli funkcje kwadratowe \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}+10x+25}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)= 2x^{2} +ax+2b-a}\) maja wspolne miejsce zerowe to \(\displaystyle{ b= 3a-25}\)
3.Funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)= x^{2} +px+q}\) przyjmuje wartosci ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x \in(-1,3)}\). Wykaz, ze \(\displaystyle{ p+q=-5}\)

Ad 1)
Parabola skierowana w dół więc wartość największa w punkcie W(p,q)
Ogólnie \(\displaystyle{ p = -\frac{b}{2a}}\)
Tutaj \(\displaystyle{ p = -\frac{b}{-4}}\)
Z zadania \(\displaystyle{ p = \frac{1}{4}}\)
Więc \(\displaystyle{ b = 1}\)
Potem już tylko podstawić do funkcji f wskazany argument.

Ad 2)
Liczymy miejsce zerowe funkcji \(\displaystyle{ f(x) =0 \Leftrightarrow x = -5}\)
Z zadania wiemy, że mają wspólne miejsce zerowe więc również \(\displaystyle{ g(-5) = 0}\)
Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ b = 3a - 25}\) co należało pokazać

Ad 3)
Narysuj sobie parabole skierowaną do góry (współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) jest dodatni)
Popatrz wnikliwie i zauważ, że twoja parabola musi spełnić poniższe warunki, z których wyliczysz \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(-1) = 0 \\ f(3) = 0 \end{cases}}\)

dzieki wielkie