Matematyka.pl

\(\displaystyle{ U,\Omega}\) - zmienne losowe niezależne o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1]}\)
Według mnie oznacza to że U ma rozkład jednostajny w kwadracie jednostkowym, ale jak w takim wypadku obliczyć np. \(\displaystyle{ E}\)?
\(\displaystyle{ f(u)= \begin{cases} 1 \ u \in [0,1]\times [0,1] \\ 0 \ w.i.p \end{cases} \\ E=\int _K uf(u)du}\)
gdzie \(\displaystyle{ K=[0,1]\times [0,1]}\)
W jaki sposób obliczyć tą całkę?

Jeśli jednak interpretujemy wektor losowy \(\displaystyle{ (U,\Omega)}\) w którym \(\displaystyle{ U\sim [0,1] \ i \ \Omega \sim [0,1]}\) to nie mam problemu z policzeniem czegokolwiek

Używamy tzw miary produktowej.Wówczas dowodzi się,że jeżeli zmienne są niezależne,to wartość oczekiwana iloczynu to iloczyn wartości oczekiwanych

może nie rozumiem do końca ale ta własność byłaby przydatna do policzenia \(\displaystyle{ E[U\Omega ]=EE[\Omega ]}\)
a ja mam:

\(\displaystyle{ U,\Omega}\) - zmienne losowe niezależne o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1]}\)

i co z tej treści wynika tzn. czy \(\displaystyle{ U \sim [0,1]}\) czy może \(\displaystyle{ U \sim [0,1] \times [0,1]}\)
w drugim przypadku byłoby to tak naprawdę \(\displaystyle{ U=(U_1,U_2)}\) i jak wtedy policzyć \(\displaystyle{ E}\) skoro nie wiem nic o \(\displaystyle{ U_1 \ i \ U_2}\)?

pokazuje się też,że miara produktowa to iloczyn miar na każdym z elementów produktów...