Matematyka.pl

Rozwiązać układ w zależności od parametru p
\(\displaystyle{ x+(p-2)y-2pz=4}\)
\(\displaystyle{ px+(3-p)y+4z=1}\)
\(\displaystyle{ (1+p)x+y+2(2-p)z=7}\)

obliczyłem rząd macierzy A(wyszedł 0) i próbowałem liczyć rzad macierzy U ale coś(uzupełnionej) mi nie wychodzi

Rząd macierzy tego układu na pewno nie wyszedł Ci równy zero. Równy zero wyszedł Ci jej wyznacznik, skąd wnioskujemy, że układ może być nieoznaczony lub sprzeczny. Jeśli teraz chcesz sprawdzić rząd macierzy rozszerzonej, to wybierz z niej podmacierz kwadratową i wykaż, że jej wyznacznik jest niezerowy - będzie to znaczyło, że rząd macierzy rozszerzonej jest równy trzy, a zatem z tw. Kroneckera-Capellego układ jest sprzeczny.

Alternatywnie: dodaj dwa pierwsze równania i od wyniku odejmij trzecie równanie.

Q.

Czy jeśli wychodzi,że wyznacznik macierzy głównej jest równy zero, to jeśli \(\displaystyle{ Wx=0 \wedge Wy=0 \wedge Wz=0}\) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, a jeśli któryś z nich jest różny od zera, to układ nie ma rozwiązań?

Jeśli teraz chcesz sprawdzić rząd macierzy rozszerzonej, to wybierz z niej podmacierz kwadratową i wykaż, że jej wyznacznik jest niezerowy - będzie to znaczyło, że rząd macierzy rozszerzonej jest równy trzy, a zatem z tw. Kroneckera-Capellego układ jest sprzeczny.

Czyli liczę minor \(\displaystyle{ 3 \times 3}\), porównuję do zera i dla tych \(\displaystyle{ p}\), które nie są rozwiązaniem, czyli wyznacznik jest dla nich różny od zera, układ jest sprzeczny, a dla pozostałych, czyli dla rozwiązań, układ jest nieoznaczony?

smmileey pisze:Czy jeśli wychodzi,że wyznacznik macierzy głównej jest równy zero, to jeśli \(\displaystyle{ Wx=0 \wedge Wy=0 \wedge Wz=0}\) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, a jeśli któryś z nich jest różny od zera, to układ nie ma rozwiązań?

Na drugie pytanie odpowiedź jest twierdząca, ale na pierwsze nie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=1\\x+y+z=1\\x+y+z=0\end{cases}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ W=W_x=W_y=W_z=0}\), a mimo to układ jest sprzeczny.

Czyli liczę minor \(\displaystyle{ 3 \times 3}\), porównuję do zera i dla tych \(\displaystyle{ p}\), które nie są rozwiązaniem, czyli wyznacznik jest dla nich różny od zera, układ jest sprzeczny, a dla pozostałych, czyli dla rozwiązań, układ jest nieoznaczony?

W tym konkretnym zadaniu niezależnie od wartości \(\displaystyle{ p}\) zawsze któryś z \(\displaystyle{ W_x,W_y,W_z}\) będzie niezerowy.

Q.

Qń pisze:W tym konkretnym zadaniu niezależnie od wartości \(\displaystyle{ p}\) zawsze któryś z \(\displaystyle{ W_x,W_y,W_z}\) będzie niezerowy.

Dobrze, ale chodzi mi ogólnie, czy to jest dobry sposób?

A co do Twojej odpowiedzi na temat pierwszego pytania. Kiedy zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań?


EDIT:
Znalazłem informację, że jeśli \(\displaystyle{ W=Wx=Wy=....=0}\) wówczas układ jest bądź nieoznaczony bądź sprzeczny. Czyli w tym przypadku trzeba porównać rzędy macierzy \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\). Zatem nieprzyjemne liczenie z parametrami.