Matematyka.pl

Nie wiem czy dobry dział wybrałem do zamieszczenia tego

mogł by ktos poprawić te zapis i wyjaśnić mi o co tutaj chodzi
wielkie dzieki
zadanie 1
W zbiorze liczb całkowitych określone są działania
\(\displaystyle{ a*b=a+1}\) i \(\displaystyle{ a\circ b=2b+1}\)
a)sprawdź rozdzielność * wzgledem \(\displaystyle{ \circ}\)
b)sprawdź rozdzielność \(\displaystyle{ \circ}\) wzgledem *

zadanie 2
Zbiór G nazywamy grupa ze względu na działania wewnętrzne \(\displaystyle{ \circ}\)
w tym zbiorze, jeżeli są spełnione następujące warunki
1°[i tu jest zapis którego nie umiem zrobić w latexie a mianowicie kwalifikator podobny do tego ^ i pod nim a,b \(\displaystyle{ in}\)G]\(\displaystyle{ (a\circ b)\circ c = a \circ (b\circ c)}\)
2°[tu podobnie V a pod nim e \(\displaystyle{ in G}\)i obok ^ i pod nim \(\displaystyle{ a\in G}\)]\(\displaystyle{ e \circ a=a \circ e=a}\)
3°[^ i pod nim \(\displaystyle{ ain G}\) obok V i pod nim \(\displaystyle{ a^{-1} G}\)]\(\displaystyle{ a\circ a^{-1}=a^{-1} \circ a = e}\)
zbadaj czy zbiór \(\displaystyle{ a,b R\ \{ 0 \}}\) z dzialaniem \(\displaystyle{ a \oplus}\)[podobny znak tylko x jest w tym kułeczku]\(\displaystyle{ b =3a\cdot b}\)jest grupa

To nie są "dziwne" działania... Tak po prostu można zdefiniować sobie inne niż znane nam działania za pomocą właśnie tych znanych.
Przejdę do rzeczy:
1)
Mamy wykazać, że: \(\displaystyle{ a*(b\circ c)=(a*b)\circ (a*c)}\)
\(\displaystyle{ L=a*(b\circ c)=a*(2c+1)=a+1\\
P=(a*b)\circ (a*c)=(a+1)\circ(a+1)=2(a+1)+1=2a+3\\
L\neq P}\)
Stąd nie zachodzi rozdzielność.
Teraz ma być:
\(\displaystyle{ a\circ(b*c)=(a\circ b)*(a\circ c)\\
L=a\circ(b*c)=a\circ(b+1)=2a+1\\
P=(a\circ b)*(a*\circ c)=(2a+1)*(2a+1)=(2a+1)+1=2a+2\\
L\neq P}\)
Stąd nie zachodzi rozdzielność.

Co do zadania 2.
Niech \(\displaystyle{ G=\mathbb{R}\setminus \{1\}}\)
Korzystamy z definicji działania do pkt 1:
\(\displaystyle{ \forall_{a,b,c\in G}:(a\oplus b)\oplus c= a\oplus (b\oplus c)\\
L=(a\oplus b)\oplus c=(3a\cdot b)\oplus c=3\cdot (3a\cdot b)\cdot c=9abc\\
P=a\oplus (b\oplus c)=a\oplus (3b\cdot c)=3a\cdot (3b\cdot c)=9abc\\
L=P}\)
Działanie jest łączne.
Teraz element neutralny ze względu na to działanie:
\(\displaystyle{ \exists_{e\in G}\forall_{a\in G}:e\oplus a=a\oplus e=a\\}\)
Warunek ten jest równoważny:
\(\displaystyle{ 3e\cdot a=3a\cdot e =a}\) skąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ e=\frac{1}{3}}\) i jest to element neutralny.
Należy jeszcze znaleźć element przeciwny ze względu na to działanie:
\(\displaystyle{ \forall_{a\in G}\exists_{a^{-1}\in G}:a\oplus a^{-1}=a^{-1}\oplus a=e}\)
Warunek ten zapiszemy tak:
\(\displaystyle{ 3a\cdot a^{-1}=3a^{-1}\cdot a=\frac{1}{3}}\)
Pierwsze dwie równości są równoważne zatem:
\(\displaystyle{ 3a\cdot a^{-1}=\frac{1}{3}\\
a^{-1}=\frac{1}{9a}}\) i jest to element przeciwny ze względu na zdefiniowane działanie

Zatem skoro spełnione są powyższe warunki, to \(\displaystyle{ (G,\oplus)}\) jest grupą.

Zamiast
\(\displaystyle{ P=(a*b)\circ (a*c)=(a+1)\circ(a+1)=a+1}\)
nie powinno być tak?
\(\displaystyle{ P=(a*b)\circ (a*c)=(a+1)\circ(a+1)=2(a+1)+1=2a+3}\)
przecież \(\displaystyle{ a\circ b=2b+1}\)

yorgin pisze:\(\displaystyle{ P=(a*b)\circ (a*c)=(a+1)\circ(a+1)=a+1}\)

a nie powinno być
\(\displaystyle{ P=(a*b)\circ (a*c)=(a+1)\circ(a+1)=2(a+1)+1}\)

kurcze nie ograrnaima tego
a co oznacza ten symbol \(\displaystyle{ \oplus}\)

[ Dodano: 12 Luty 2007, 23:32 ]
hehe nie zdążyłem zadac pytania ,kiedy dostałem odpowiedź dzięki lord_didger wielkie podziękowania dla yorgin

Fakt, niedopatrzenie. Dzięki za czujność
Poprawiłem, teraz wszystko jest ok

Nie ma sprawy

Co do zadania pierwszego to mam wrażenie, że w obydwóch przypadkach L nie równa P

nie żebym był upierdliwy ale

yorgin pisze:\(\displaystyle{ L=a\circ(b*c)=a\circ(b+1)=2a+1\\
P=(a\circ b)*(a*\circ c)=(2a+1)*(2a+1)=(2a+1)+1=2a+2\\}\)

intesywnie temu się przyglądam i stwierdzam, że tu chyba powinno być tak
\(\displaystyle{ L=a\circ(b*c)=a\circ(b+1)=2(b+1)+1=2b+3}\)

jeśli mamracje to znaczy, że powoli to domnie trawia
natomiast
\(\displaystyle{ P=(a\circ b)*(a\circ c)=(2b+1)*(2c+1)=(2b+1)+1=2b+2\\}\)
dobrze

dobrze myślisz

no to dobrze

a i powielam pytanie cooznacza ten symbol \(\displaystyle{ \oplus}\)

Ten dziwny symbol to suma prosta dwóch grup