Matematyka.pl

Narysować:
\(\displaystyle{ arg \left( \frac{1}{z+i}\right) < \pi}\)

Nie zgadza mi się wynik z odpowiedziami i chciałem sprawdzić, który jest prawidłowy.
Skorzystałem ze wzoru:
\(\displaystyle{ arg \left( \frac{1}{z}\right) =2 \pi -arg(z)}\)
Otrzymałem: \(\displaystyle{ arg \left( \frac{1}{z+i}\right) =2 \pi -arg(z+i)< \pi}\)
Z tego: \(\displaystyle{ arg(z+i)> \pi}\)
Czyli wykresem będzie obszar pod półprostą zaczepioną w punkcie \(\displaystyle{ (0,-i)}\) z wyłączeniem tej prostej. Natomiast w odpowiedziach jest na odwrót, czyli obszar nad tą półprostą. Czy i gdzie zrobiłem błąd?

Jest w porządku, z dokładnością do brzegu - półprosta \(\displaystyle{ (0, \infty) \times \{ -1 \}}\) też będzie w zbiorze. W odpowiedziach na pewno nie jest dobrze, bo choćby dla \(\displaystyle{ z=0}\) mamy

\(\displaystyle{ \arg \left(\frac{1}{\mathrm i} \right) = \arg - \mathrm i = \frac{3 \pi}{2} > \pi.}\)

Dzięki. Tylko dlaczego ta półprosta też będzie w zbiorze, skoro \(\displaystyle{ arg(z+i)> \pi}\) , a nie \(\displaystyle{ \ge \pi}\)?

To jeszcze zależy od definicji (przedziału wartości) funkcji \(\displaystyle{ \arg z,}\) ale ogólnie, wzór

\(\displaystyle{ \arg \frac{1}{z} = 2 \pi - \arg z}\)

ma wyjątek: dla \(\displaystyle{ z \in (0, \infty)}\) jest \(\displaystyle{ \arg z = \arg \frac{1}{z} = 0,}\) czyli mamy przesunięcie o dwa pi. W przekształceniu \(\displaystyle{ w=\frac{1}{z + \mathrm i}}\) półprosta \(\displaystyle{ \{ x- \mathrm i : x \in (0, \infty) \}}\) przejdzie na półprostą \(\displaystyle{ \{ x+0 \mathrm i: x \in \mathbb R \},}\) której punkty spełniają zadany warunek, bo na tej półprostej jest \(\displaystyle{ \arg z = 0.}\) Twój wzór zaś "myśli", że te punkty mają argument \(\displaystyle{ 2 \pi}\) i warunku nie spełniają.